TOÁN VUI VẺ Định nghĩa 1 (Phép chia số nguyên). Cho a , b ∈ Z với b > 0 . Khi đó luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q , r sao cho a = qb + r với 0 ≤ r < b Trong đó: • q là thương của phép chia a cho b • r là phần dư của phép chia a cho b Ví dụ 1. Cho a = − 43 và b = 4 . Tìm thương và phần dư của phép chia a cho b ? | Lời giải. Phép chia a cho b sẽ có thương là q = − 10 và phần dư r = 3 bởi vì − 43 = − 10 · 4 − 3 và 0 ≤ − 3 < 4 Định nghĩa 2 (Phép toán div và mod). Ta định nghĩa phép toán div và phép toán mod như sau: a div b = q và a mod b = r Ví dụ 2. Cho a = − 43 và b = 4 . Hãy tính a div b và a mod b | Lời giải. a div b = − 10 và a mod b = − 3 Định nghĩa 3 (Quan hệ đồng dư). Cho a , b ∈ Z và n > 0 a ≡ b ( mod n ) ⇐⇒ a mod n = b mod n Định lí 1. Cho a , b , c , d là các số nguyên và n > 0 . Nếu a ≡ b ( mod n ) và c ≡ d ( mod n ) thì a + c ≡ b + d ( mod n ) và ac ≡ bd ( mod n ) Ví dụ 3. Giả sử rằng x ≡ 17 ( mod 7 ) và y ≡ − 5 ( mod 7 ) . Tính: a) x + y ≡ ? ( mod 7 ) b) 2 x + 3 y ≡ ? ( mod 7 ) c) xy ≡ ? ( mod 7 ) d) x 3 + 3 xy + 2 y 2 ≡ ? ( mod 7 ) | Lời giải. a) x + y ≡ 17 − 5 ≡ 12 ≡ 5 ( mod 7 ) b) 2 x + 3 y ≡ 2 · 17 + 3 · ( − 5 ) ≡ 19 ≡ 5 ( mod 7 ) c) xy ≡ 17 · ( − 5 ) ≡ − 85 ≡ − 1 ( mod 7 ) d) x 3 + 3 xy + 2 y 2 ≡ 17 3 + 3 · 17 · ( − 5 ) + 2 · ( − 5 ) 2 ≡ 4708 ≡ 4 ( mod 7 ) Định lí 2. Giả sử b là số nguyên lớn hơn 1. Khi đó, một số nguyên dương n bất kỳ luôn có thể biểu diễn dưới dạng một đa thức (với cơ số là b ) như sau: n = a k b k + a k − 1 b k − 1 + . . . + a 1 b + a 0 với k ∈ N , các hệ số a i , i = 1 , k là các số nguyên không âm nhỏ hơn b , và a k ̸ = 0 Dãy các hệ số ( a k a k − 1 . . . a 0 ) trong đa thức trên được gọi là khai triển cơ sở b của n và được ký hiệu là ( a k a k − 1 . . . a 0 ) b Một số dạng khai triển • Khai triển thập phân: khai triển với cơ số b = 10 • Khai triển nhị phân: khai triển với cơ số b = 2 • Khai triển bát phân: là khai triển với cơ số b = 8 • Khai triển thập lục phân: là khai triển với cơ số b = 16 . Trong khai triển thập lục phân ta dùng các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A , B , C , D , E , F , trong đó A = 10 , B = 11 , C = 12 , D = 13 , E = 14 , F = 15 1 TOÁN VUI VẺ Ví dụ 4. (a) Tìm khai triển thập phân của số ( 10100111 ) 2 (b) Tìm khai triển thập phân của số ( 7243 ) 8 (c) Tìm khai triển thập phân của số ( 8 FC 5 A ) 16 | Lời giải. a) ( 10100111 ) 2 = 2 7 + 2 5 + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 167 b) ( 7243 ) 8 = 7 · 8 3 + 2 · 8 2 + 4 · 8 1 + 3 · 8 0 = 3747 c) ( 8 FC 5 A ) 16 = 8 · 16 4 + 15 · 16 3 + 12 · 16 2 + 5 · 16 1 + 10 · 16 0 = 588890 Ví dụ 5. (a) Tìm khai triển bát phân của số ( 14532 ) 10 (b) Tìm khai triển thập lục phân của số ( 186243 ) 10 (c) Tìm khai triển nhị phân của số ( 234 ) 10 | Lời giải. (a) Chia liên tiếp 14532 cho 8, ta thu được 14532 = 8 · 1816 + 4 1816 = 8 · 227 + 0 227 = 8 · 28 + 3 28 = 8 · 3 + 4 3 = 8 · 0 + 3 Do đó ( 14532 ) 10 = ( 34304 ) 8 (b) Chia liên tiếp 186243 cho 16, ta thu được 186243 = 16 · 11640 + 3 11640 = 16 · 727 + 8 727 = 16 · 45 + 7 45 = 16 · 2 + 13 2 = 16 · 0 + 2 Do đó ( 186243 ) 10 = ( 2 D 783 ) 16 c) Chia liên tiếp 234 cho 2, ta thu được 234 = 2 · 117 + 0 117 = 2 · 58 + 1 58 = 2 · 29 + 0 29 = 2 · 14 + 1 14 = 2 · 7 + 0 7 = 2 · 3 + 1 3 = 2 · 1 + 1 1 = 2 · 0 + 1 Do đó ( 234 ) 10 = ( 11101010 ) 2 Có thể tìm nhanh bằng máy tính CASIO. Định nghĩa 4. Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó. Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều có thể phân tích thành tích các thừa số nguyên số. Ví dụ 6. (a) Phân tích 7007 thành tích các số nguyên tố (b) Phân tích 111111 thành tích các số nguyên tố. | Lời giải. (a) 7007 = 7 2 × 11 × 13 (b) 111111 = 3 × 7 × 11 × 13 × 37 2 TOÁN VUI VẺ Định nghĩa 5 (ƯCLN). Cho a và b là các số nguyên khác 0 . Số nguyên lớn nhất d thỏa mãn ( d | a ) và ( d | b ) được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b . Kí hiệu d = gcd ( a , b ) Định nghĩa 6 (BCNN). Cho a và b là các số nguyên dương. Bội số chung nhỏ nhất của a và b là số nguyên dương m nhỏ nhất chia hết cho cả a và b . Kí hiệu m = lcm ( a , b ) Định lí 3. Cho a và b là các số nguyên dương. Khi đó ab = gcd ( a , b ) · lcm ( a , b ) Định nghĩa 7. Hai số nguyên được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng là 1. Định lí 4. Nếu a , b nguyên tố cùng nhau thì ab = lcm ( a , b ) Định nghĩa 8. Cho n ∈ Z + Tập hợp Z n là tập chứa tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn n Z n = { 0 , 1 , . . . , n − 1 } Các phép toán trên Z n • Phép cộng: a + b = ( a + b ) ( mod n ) • Phép nhân: a · b = ( a · b ) ( mod n ) Định nghĩa 9. Cho n là số nguyên dương và a ∈ Z n • Số b ∈ Z n được gọi là nghịch đảo cộng của a nếu a + b = 0 ( mod n ) • Số b ∈ Z n được gọi là nghịch đảo nhân của a nếu a · b = 1 ( mod n ) Định lí 5. Cho a ∈ Z n và giả sử rằng gcd ( a , n ) = 1 . Khi đó luôn tồn tại duy nhất một số b ∈ Z n sao cho b là nghịch đảo nhân của a Định lí 6 (Thặng dư Trung Hoa). Cho a , b , m , n là các số nguyên và giả sử rằng m và n là các số dương và nguyên tố cùng nhau. Khi đó luôn tồn tại duy nhất một số nguyên x 0 thỏa mãn 0 ≤ x 0 < mn và là nghiệm của hệ phương trình sau: { x ≡ a ( mod m ) x ≡ b ( mod n ) Định lí 7 (Fermat nhỏ). Cho số nguyên tố p và p không là ước của a với a ∈ Z . Khi đó a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) Cho số nguyên tố p và số nguyên a bất kì. Khi đó a p ≡ a ( mod p ) Ví dụ 7. Tìm số dư của 2 100 khi chia cho 13. | Lời giải. Theo định lí Fermat nhỏ ta có 2 12 ≡ 1 ( mod 13 ) Phân tích: 2 100 = ( 2 12 ) 8 · 2 4 ≡ 2 4 ≡ 3 ( mod 13 ) 3