Institut Gallil ́ ee Universit ́ e Paris XIII Licence 3 2020-2021 Structures Alg ́ ebriques Exercices Exercice 1 Soit ( G, ∗ ) un ensemble muni d’une loi de composition associative. Montrer que G est un groupe si et seulement s’il existe un ́ el ́ ement e ∈ G tel que pour tout g ∈ G , on ait ` a la fois g ∗ e = g et un ́ el ́ ement g ′ ∈ G tel que g ∗ g ′ = e Exercice 2 Soit ( G, ∗ ) un ensemble fini muni d’une loi de composition associative. Montrer que G poss` ede un idempotent 1 Exercice 3 Soit ( G, ∗ ) un ensemble muni d’une loi de composition associative. Montrer que G est un groupe si et seulement si pour tout couple ( g, g ′ ) de G 2 , les ́ equations x ∗ g = g ′ et g ∗ y = g ′ ont une solution. Exercice 4 Si g et g ′ sont des ́ el ́ ements d’un groupe G , montrer qu’il existe un unique x ∈ G tel que xg = g ′ Montrer de mˆ eme qu’il existe un unique y ∈ G tel que gy = g ′ Exercice 5 Les ensembles suivants munis des lois indiqu ́ ees sont-ils des groupes ? Si ce n’est pas le cas, indiquer l` a o` u le bˆ at blesse. 1 ( N , +) 2 ( Z ∗ , × ) 3 ( Q , × ) 4 ( { rotations du plan de centre 0 } , ◦ ) 5 ( {− 1 , 1 } , × ) 6 ( { z ∈ C , z n = 1 } , × ) 7 ( GL n ( R ) , +) 8 ( GL n ( R ) , × ). Exercice 6 L’ensemble X = { x ∈ R , x > 0 et x 6 = 1 } est-il un groupe pour la loi x ∗ y = x ln( y ) ? Exercice 7 Soit G un groupe poss ́ edant un unique ́ el ́ ement g d’ordre 2. Montrer que g commute ` a tous les ́ el ́ ements de G Exercice 8 Montrer que si G est un groupe de type fini 2 , alors le cardinal de G est au plus d ́ enombrable. Exercice 9 Montrer qu’un groupe G dans lequel tous les ́ el ́ ements non-neutres sont d’ordre 2 est commutatif. Exercice 10 Montrer qu’un groupe G est ab ́ elien si et seulement si l’application g 7 → g − 1 est un morphisme de groupes. 1. On dit que g ∈ G est un idempotent si g ∗ g = g 2. Un groupe G est de type fini s’il est engendr ́ e par un nombre fini d’ ́ el ́ ements. 1 Exercice 11 Montrer qu’un groupe G est ab ́ elien si et seulement si l’application g 7 → g 2 est un morphisme de groupes. Exercice 12 Montrer que pour tout ́ el ́ ement g d’un groupe G , la translation τ g : G −→ G d ́ efinie par g ′ 7 → gg ′ est une bijection. Exercice 13 Soit G un groupe fini dans lequel tous les ́ el ́ ements non neutres sont conjugu ́ es deux ` a deux 3 . Montrer que soit G est trivial, soit G ' Z / 2 Z Exercice 14 D ́ ecrire l’ensemble des groupes pour lesquels l’ensemble des sous-groupe est fini. Exercice 15 Etudier le groupe multiplicatif ( Z / 20 Z ) ∗ Exercice 16 Montrer que { x ∈ R ∗ , x = a + b √ 2 , ( a, b ) ∈ Q 2 } est un sous-groupe de ( R ∗ , × ). Exercice 17 Soit H 8 = {± 1 , ± i, ± j, ± k } 4 le groupe des quaternions. Ecrire la table de multiplication dans H 8 , et montrer que tous les sous-groupes de H 8 sont distingu ́ es. Identifier tous les quotients possible de H 8 par un sous-groupe. Exercice 18 Montrer qu’il n’existe (` a isomorphisme pr` es) que deux groupes d’ordre 6. Exercice 19 Soit G un groupe ab ́ elien d’ordre n . Montrer que pour tout entier k premier ` a n , l’application g 7 → g k est un automorphisme de groupes. Exercice 20 Soit G un groupe commutatif d’ordre n . Montrer en consid ́ erant l’ ́ el ́ ement x = ∏ h ∈ G h que pour tout g ∈ G , g n = e Exercice 21 Montrer que le groupe ( Q , +) n’est pas de type fini 5 Exercice 22 Soit p un nombre premier et G un groupe de cardinal p . Montrer que G est cyclique. Exercice 23 3. i.e. ∀ ( g, g ′ ) ∈ G 2 , ∃ h ∈ G, g = hg ′ h − 1 4. On d ́ efinit la loi dans H 8 par ij = − ji = k et i 2 = j 2 = k 2 = − 1. 5. i.e. n’est pas engendr ́ e par un nombre fini d’ ́ el ́ ements. 2 Montrer que si p et q sont des nombres premiers distincts, tout groupe ab ́ elien G d’ordre pq est cyclique. Et si G n’est pas ab ́ elien ? Exercice 24 Si k et n sont deux entiers, quel est l’ordre de k dans Z /n Z ? Exercice 25 Quel est le plus petit entier n tel qu’il existe un groupe non-commutatif de cardinal n ? Exercice 26 Si F est un corps, d ́ eterminer le centre de GL n ( F ) 6 Exercice 27 Si p est un nombre premier, d ́ eterminer le cardinal de GL n ( Z /p Z ). Exercice 28 Si p est un nombre premier, d ́ eterminer le cardinal du groupe SL n ( Z /p Z ) 7 . Faire de mˆ eme avec P GL n ( Z /p Z ) 8 Exercice 29 On consid` ere le groupe D n des isom ́ etries du plan qui laissent stable le polygone r ́ egulier ` a n cˆ ot ́ es centr ́ e en 0. Montrer que D n est engendr ́ e par deux ́ el ́ ements r et s qui v ́ erifient les relations r n = 1, s 2 = 1 et srs = r − 1 . D ́ eterminer le cardinal de D n et montrer que D 3 ' S 3 Exercice 30 (Formule de Wilson) Montrer qu’un entier p ≥ 2 est premier si et seulement si ( p − 1)! ≡ − 1 (mod p ). Exercice 31 Soit G un sous-ensemble fini de M n ( R ) qui est un groupe pour la multiplication matricielle. Montrer que Card ( G ) divise T r ( ∑ M ∈ G M ). Exercice 32 Montrer que le groupe d ́ eriv ́ e D ( G ) 9 d’un groupe G est un sous-groupe distingu ́ e, et qu’il s’agit du plus petit sous-groupe distingu ́ e H de G tel que le quotient G/H est commutatif. Identifier le groupe D ( G ) lorsque G = A 4 , G = S n ( n ≥ 3), G = D n Exercice 33 Donner deux groupes G et G ′ dont les groupes d ́ eriv ́ es 9 respectifs D ( G ) et D ( G ′ ) sont isomorphes ` a D 1 = Z / 2 Z et D 2 = Z / 2 Z × Z / 2 Z . Montrer en revanche qu’il n’existe pas de groupe G dont le groupe d ́ eriv ́ e est isomorphe ` a D n , pour n ≥ 3. Exercice 34 Montrer que tout groupe ab ́ elien fini est un groupe d ́ eriv ́ e. 6. Si G est un groupe, son centre Z ( G ) est { g ∈ G, ∀ g ′ ∈ G, gg ′ = g ′ g } 7. SL n ( Z /p Z ) est l’ensemble des matrices de M n ( Z /p Z ) qui sont de d ́ eterminant 1. 8. P GL n ( Z /p Z ) est le quotient de GL n ( Z /p Z ) par son centre. 9. D ( G ) est le sous-groupe de G engendr ́ e par les commutateurs, i.e. les ́ el ́ ements de la forme g − 1 h − 1 gh , pour ( g, h ) ∈ G 2 3 Exercice 35 Soit G un groupe fini, et o k ( G ) l’ensemble des ́ el ́ ements de G d’ordre k . Montrer o 3 ( G ) est pair et que Card ( G ) − o 2 ( G ) est impair. Exercice 36 Soient g , g ′ des ́ el ́ ements d’un groupe fini G . Montrer que gg ′ g − 1 et g ′ sont de mˆ eme ordre. Faire de mˆ eme avec gg ′ et g ′ g Exercice 37 Montrer qu’un groupe fini G tel que pour tout g ∈ G , g 2 = e est un groupe ab ́ elien d’ordre une puissance de 2. Exercice 38 Montrer que si G est un groupe ab ́ elien, l’ensemble des ́ el ́ ements d’ordre fini dans G est un groupe. Montrer que ce n’est pas le cas si G n’est pas ab ́ elien (on pourra par exemple consid ́ erer le groupe GL 2 ( F ), pour un corps F ). Exercice 39 Soit G un groupe et soient a et b des ́ el ́ ements de G d’ordres respectifs m et n tels que ab = ba et pgcd( m, n ) = 1. Montrer que l’ordre de ab est mn . Trouver des contre exemples lorsque l’on ne suppose pas ab = ba ou pgcd( m, n ) = 1. Exercice 40 Montrer qu’un groupe ab ́ elien est simple 10 si et seulement s’il est d’ordre premier. Exercice 41 Soit G un groupe ab ́ elien fini et p un diviseur premier de Card ( G ). Montrer par r ́ ecurrence sur Card ( G ) que G poss` ede un ́ el ́ ement d’ordre p Exercice 42 Montrer que pour tout entier n , le groupe ( Q / Z , +) poss` ede un unique sous-groupe d’ordre n Exercice 43 V ́ erifier que l’intersection de deux sous-groupes H , K d’un groupe G est un sous-groupe de G . Montrer que H ∪ K est un sous-groupe de G si et seulement si H ⊂ K ou K ⊂ H Exercice 44 Soient H et K deux sous-groupe d’un groupe G dont les ordres respectifs m et n sont premiers entre eux. Montrer que H ∩ K = { e } Exercice 45 Soient H , J , K des sous-groupes d’un groupe G . Montrer que H ⊂ K ⇒ H + ( J ∩ K ) = ( H + J ) ∩ K Exercice 46 Soient H et K deux sous-groupes finis d’un groupe G . Montrer que le cardinal du sous-groupe de G engendr ́ e par H et K est sup ́ erieur ` a Card ( H ) Card ( K ) Card ( H ∩ K ) 10. Un groupe G est dit simple s’il ne poss` ede pas de sous-groupe distingu ́ e non-trivial. 4 Exercice 47 Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G tels que | G : H | et | G : K | soient premiers entre eux. Montrer que G = HK Exercice 48 Soient H et K deux sous-groupes stricts d’un groupe G tel que G = HK . Montrer que H et K ne sont pas conjugu ́ es. Exercice 49 Soit H un sous-groupe strict d’un groupe G . D ́ eterminer le sous-groupe de G engendr ́ e par le compl ́ ementaire de H Exercice 50 Montrer que si H et K sont deux sous-groupes stricts d’un groupe G , on a H ∪ K 6 = G Exercice 51 Soit H un sous-groupe strict d’un groupe fini G . Montrer que G 6 = ⋃ g ∈ G gHg − 1 Exercice 52 Trouver un contre exemple ` a l’exercice 51 si l’on ne suppose plus que G est fini. On pourra consid ́ erer pour G l’ensemble des bijections de N ` a support fini. Exercice 53 Montrer que pour tout ( m, n ) ∈ N ∗ , on a un isomorphisme m · ( Z /n Z ) ' Z / (pgcd( m, n ) Z Exercice 54 Un sous-groupe du produit G × G ′ de deux groupes est-il toujours le produit de deux sous-groupes respectifs de G et G ′ ? Exercice 55 Soient H et K deux sous-groupes distingu ́ es d’un mˆ eme groupe G tels que H ∩ K = { e } . Montrer que les ́ el ́ ements de H commutent ` a ceux de K Exercice 56 Soit G un groupe et H un sous-groupe de G d’indice 2. Montrer que H est distingu ́ e dans G Exercice 57 Montrer que le centre Z ( G ) 11 d’un groupe G est un sous-groupe distingu ́ e de G . Montrer que si G/Z ( G ) est cyclique, alors G est ab ́ elien. Exercice 58 Soit φ : G −→ G ′ un morphisme de groupes. Montrer que si H ′ est un sous-groupe distingu ́ e de G ′ , alors φ − 1 ( H ′ ) est distingu ́ e dans G Montrer que si φ est surjective, l’image d’un sous-groupe distingu ́ e de G est distingu ́ ee dans G ′ . Et si φ n’est pas surjective ? Exercice 59 11. On rappelle que Z ( G ) = { g ∈ G, ∀ g ′ ∈ G gg ′ = g ′ g } 5 Donner un exemple de sous-groupe d’un groupe G qui est distingu ́ e mais n’est pas caract ́ eristique 12 Exercice 60 Montrer que si H est un sous groupe distingu ́ e de G et K est un sous-groupe caract ́ eristique de H , alors K est distingu ́ e dans G Exercice 61 Montrer que si H est un sous-groupe caract ́ eristique de G et K est un sous-groupe caract ́ eristique de H , alors K est un sous-groupe caract ́ eristique de G Trouver un contre exemple ` a la mˆ eme assertion lorsque ”caract ́ eristique” est remplac ́ e par ”distingu ́ e”. Exercice 62 Soit G un groupe et H un sous-groupe strict et distingu ́ e de G . Montrer que s’il n’existe pas de sous-groupe K de G satisfaisant H ( K ( G , alors l’indice de H dans G est un nombre premier. Exercice 63 Existe-t-il un groupe G dans lequel les sous-groupes distingu ́ es sont caract ́ eristiques, bien qu’il poss` ede des automorphismes ext ́ erieurs ? Exercice 64 Montrer ` a l’aide de l’exercice 41 que si G est un groupe ab ́ elien et k est un diviseur de Card ( G ), alors G poss` ede un sous-groupe d’ordre k . Et si G n’est pas commutatif ? Exercice 65 Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G . Montrer que si H est distingu ́ e dans G , alors HK est un groupe. Montrer que si de plus K est aussi distingu ́ e dans G , HK est un sous-groupe distingu ́ e dans G Exercice 66 Soit G un groupe fini d’ordre n = ab , a et b ́ etant premiers entre eux. Montrer que si H (resp. K ) est un sous groupe de G d’ordre a (resp. b ) alors G = HK . Le groupe G est-il isomorphe ` a H × K ? Exercice 67 Montrer que H = {( a − b b a ) , a 2 + b 2 = 1 } est un sous-groupe de GL 2 ( R ). Exercice 68 Montrer que le groupe sp ́ ecial orthogonal SO n ( R ) est un sous-groupe distingu ́ e de O n ( R ). D ́ ecrire le groupe quotient O n ( R ) /SO n ( R ). Exercice 69 D ́ eterminer les sous-groupes finis du groupe ( R ∗ , × ). Exercice 70 Soit H un sous-groupe d’indice fini de ( C ∗ , × ). Montrer que H = C ∗ 12. On rappelle que H est distingu ́ e (resp. caract ́ eristique) si H est stable par Inn ( G ) (resp. par Aut ( G )). 6 Exercice 71 Montrer que si H est un sous-groupe d’indice fini de ( Q , +), alors H = Q Exercice 72 Soit G un groupe d’ordre 2 n , pour n impair et H un sous-groupe d’ordre n de G tel que pour tout couple ( h, g ) ∈ H × ( G \ H ), ghg − 1 = h − 1 . Montrer que H est commutatif et que tout ́ el ́ ement de G \ H est d’ordre 2. Exercice 73 Soit G un groupe d’ordre 2 p , p ́ etant premier et impair. Montrer que si G contient un sous-groupe normal d’ordre 2, G est cyclique. Exercice 74 Montrer que si p est un nombre premier impair, l’ensemble des carr ́ es de ( Z /p Z ) ∗ est de cardinal p − 1 2 et correspond ` a l’ensemble des racines du polynˆ ome X p − 1 2 − ̄ 1. Exercice 75 D ́ eterminer tous les morphismes de groupes ( Z /n Z , +) −→ ( C ∗ , × ). Exercice 76 D ́ eterminer le nombre d’automorphismes du groupe Z / 2 Z × Z / 2 Z Exercice 77 Pour n ≥ 2, d ́ eterminer les morphismes de groupes S n −→ ( C ∗ , × ). Exercice 78 D ́ eterminer le nombre de morphismes de groupes φ : Z / 2 Z × Z / 2 Z −→ S 3 Exercice 79 D ́ eterminer la structure et le cardinal du groupe des automorphismes d’un groupe cyclique. Exercice 80 D ́ eterminer tous les automorphismes du groupe ( Q , +). Exercice 81 Soit G le groupe (multiplicatif) des nombres rationnels strictement positifs. D ́ eterminer tous les mor- phismes de groupes ( Q , +) −→ G Exercice 82 Les groupes ( Q , +) et ( Q ∗ , × ) sont-ils isomorphes ? Exercice 83 Montrer que pour tout groupe G , on a un isomorphisme G/Z ( G ) ' Inn ( G ). 13 Exercice 84 Pour tout n ≥ 3, d ́ eterminer le centre du groupe di ́ edral D n 13. Inn ( G ) est l’ensemble des automorphismes int ́ erieurs de G , i.e Inn ( G ) = { φ g , φ g ( α ) = gαg − 1 , g ∈ G } 7 Exercice 85 Montrer que si φ : G −→ G ′ est un isomorphisme de groupes, alors φ induit un isomorphisme entre les centres de G et G ′ . En d ́ eduire qu’il n’existe pas d’isomorphisme de groupes φ : GL n ( R ) −→ GL n ( C ). Exercice 86 Montrer que si G est un groupe dont l’ensemble des automorphismes est r ́ eduit ` a id G , alors G est soit trivial, soit isomorphe ` a Z / 2 Z Exercice 87 Soit φ un automorphisme d’un groupe fini G dont le seul point fixe est l’ ́ el ́ ement neutre. Montrer que tout ́ el ́ ement g ∈ G s’ ́ ecrit h − 1 φ ( h ), pour un certain h ∈ G Montrer que si φ est une involution 14 , alors l’ordre de G est impair et pour tout g ∈ G , φ ( g ) = g − 1 Exercice 88 Soit G un groupe et H un sous-groupe distingu ́ e de G . Montrer que si H est cyclique, les ́ el ́ ements de H et du groupe d ́ eriv ́ e D ( G ) commutent. Exercice 89 Si G et G ′ sont deux groupes finis d’ordres premiers entre eux, montrer que Aut ( G × G ′ ) ' Aut ( G × G ′ ). Exercice 90 Montrer que tout groupe d’ordre n est un sous-groupe de S n Exercice 91 Montrer que tout groupe d’ordre n est un sous-groupe de SO n ( R ). Exercice 92 Montrer que tout groupe d’ordre n est un sous-groupe de A n +2 Exercice 93 Soit n ≥ 2 et H le sous-groupe de S n des permutations qui laissent stable l’ ́ el ́ ement n . Montrer que H est un groupe isomorphe ` a S n − 1 et que l’ensemble S n /H des classes ` a gauche modulo H est { H, (1 n ) H, (2 n ) H, ..., ( n − 1 n ) H } . Retrouver le cardinal de S n Exercice 94 Montrer que le produit de deux transpositions peut s’ ́ ecrire ou bien comme un 3-cycle, ou bien comme le produit de deux 3-cycles. En d ́ eduire que A n est engendr ́ e par les 3-cycles, puis que A n est engendr ́ e par l’ensemble { (123) , ..., (12 n ) } Exercice 95 D ́ ecomposer en cycles ` a supports disjoints les permutations suivantes, et calculer leur signature : 1 2 3 4 5 6 7 3 5 2 1 7 6 4 1 2 3 4 5 6 7 7 5 1 4 2 3 6 1 2 3 4 5 6 7 5 7 1 4 3 6 2 Exercice 96 14. On rappelle que φ : G −→ G est une involution si φ ◦ φ = id 8 Montrer que si c = ( a 1 ...a k ) ∈ S n est un k -cycle, alors pour toute permutation σ ∈ S n , σ ◦ c ◦ σ − 1 correspond au cycle ( σ ( a 1 ) ...σ ( a k )). En d ́ eduire que le nombre de classes de conjugaison de S n correspond au nombre de partitions de l’entier n 15 , et calculer explicitement le nombre de classes de conjugaison dans S 5 Exercice 97 Montrer que le seul sous-groupe distingu ́ e de S n qui contient une transposition est S n lui-mˆ eme. Exercice 98 Montrer qu’une permutation d’ordre 10 dans S 8 n’appartient pas ` a A 8 Exercice 99 Montrer que tout 3-cycle est un carr ́ e dans S n , et que le groupe A n est engendr ́ e par les carr ́ es de permutations. En d ́ eduire que A n est le seul sous-groupe d’indice 2 de S n Exercice 100 Le but de cet exercice est de calculer le nombre P n des permutations de S n n’ayant aucun point fixe. Montrer que pour tout n ≥ 2, on a la relation P n +1 = n ( P n + P n − 1 ). En d ́ eduire que pour tout n ≥ 2, P n = n P n − 1 + ( − 1) n puis que P n = n ! ∑ n k =0 ( − 1) k k ! Exercice 101 Montrer que pour tout entier n , le groupe A n est un sous-groupe caract ́ eristique de S n Exercice 102 Soit G un groupe et H un sous-groupe de G d’indice fini. Montrer que G contient un sous-groupe distingu ́ e K d’indice fini tel que K ⊂ H Exercice 103 D ́ eterminer le plus petit entier k tel que pour tout σ ∈ S 9 , σ k = id . Faire de mˆ eme pour le groupe A 9 Exercice 104 Soit G un sous-groupe commutatif de S 999 d’ordre 1111. Montrer qu’il existe un point fixe i de { 1 , ..., 999 } commun ` a tous les ́ el ́ ements de G Exercice 105 Soit p un nombre premier ne divisant pas n et G un sous-groupe de S n d’ordre p k . Montrer qu’il existe un point fixe i ∈ { 1 , ..., n } commun ` a tous les ́ el ́ ements de G Exercice 106 Soit G un groupe. On dit qu’un sous-groupe H de G est co-central si G = Z ( G ) H . Montrer que si H est co-central dans G , alors Z ( H ) = Z ( G ). En d ́ eduire que si G est un p -groupe non ab ́ elien, alors il n’existe pas de sous-groupe H de G tel que G ' Z ( G ) × H Exercice 107 Soit G un groupe fini et X l’ensemble des sous-groupes de G . Montrer que si H est un sous-groupe 15. Le nombre de partitions d’un entier n est le nombre de fa ̧ cons d’ ́ ecrire n comme somme d’entiers strictement positifs. 9 fix ́ e de G , le nombre de conjugu ́ es de H divise Card ( G ). De mˆ eme montrer que si g est un ́ el ́ ement de G , le nombre de conjugu ́ es de g divise Card ( G ). Exercice 108 Soit G un groupe d’ordre p n agissant sur un ensemble fini X de cardinal premier ` a p . Montrer que X poss` ede un point fixe 16 pour cette action. Exercice 109 Montrer que si p est un nombre premier, et si G est un p -groupe non-trivial le centre de G n’est pas r ́ eduit ` a l’ ́ el ́ ement neutre. En d ́ eduire que tout groupe d’ordre p 2 est ab ́ elien. Exercice 110 Soit G un groupe d’ordre p n et H un sous-groupe distingu ́ e de G non r ́ eduit ` a { e } . Montrer que H ∩ Z ( G ) 6 = 1 et en d ́ eduire que tout sous-groupe normal de G d’ordre p est contenu dans Z ( G ). Exercice 111 Soit G un groupe qui agit sur un ensemble X . Montrer que pour x ∈ X , Stab ( x ) est un sous-groupe distingu ́ e de G si et seulement si pour tout y ∈ G.x , Stab ( y ) = Stab ( x ). Exercice 112 On consid` ere l’action naturelle de G = GL 2 ( R ) sur X = R 2 . Pour chacun des sous-groupes suivants de G , d ́ eterminer les orbites de X ainsi que le stabilisateur du vecteur v = ( 1 0 ) 1. H 1 = {( a 0 0 a ) , a > 0 } 2. H 2 = {( 1 x 0 1 ) , x ∈ R } 3. H 3 = 〈( 0 − 1 1 0 )〉 Exercice 113 Soit G un groupe qui agit sur un ensemble X . Montrer qu’un sous-ensemble Y de X est stable par l’action de G si et seulement si Y est une union d’orbites d’ ́ el ́ ements de X Exercice 114 Soit G un groupe qui agit sur un ensemble X . On consid` ere g , g ′ des ́ el ́ ements de G et on note Y = F ix ( g ) 17 . Montrer que si gg ′ = g ′ g , alors g ′ .y ∈ Y , pour tout y ∈ Y Donner un exemple pour lequel gg ′ 6 = g ′ g et il existe un ́ el ́ ement y ∈ Y tel que g ′ .y / ∈ Y Exercice 115 On suppose qu’un groupe G agit transitivement sur deux ensembles X et Y . Montrer que s’il existe une application ensembliste f : X −→ Y qui est G - ́ equivariante 18 , Card ( Y ) divise Card ( X ). Exercice 116 Soit G un groupe fini et H un sous-groupe distingu ́ e de G . Montrer que pour tout nombre premier p , 16. x ∈ X est un point fixe si pour tout g ∈ G , g · x = x 17. On rappelle que F ix ( g ) = { x ∈ X, g.x = x } 18. i.e. pour tout couple ( g, x ) ∈ G × X , f ( g.x ) = g.f ( x ). 10 le nombre de p -Sylow de H divise le nombre de p -Sylow de G . Montrer que le nombre de p -Sylow de G/H divise lui aussi le nombre de p -Sylow de G Exercice 117 Soit n > 4 un entier et X un ensemble sur lequel S n agit transitivement. Montrer que soit Card ( X ) ≤ 2, soit Card ( X ) ≥ n Exercice 118 Montrer que pour tout n ≥ 3, un groupe simple G de cardinal sup ́ erieur ` a n ! n’a pas de sous-groupe d’indice n Exercice 119 On suppose qu’un groupe G d’ordre 10 agit sur un ensemble X de cardinal 13 de telle sorte qu’aucune orbite n’est r ́ eduite ` a 1 ́ el ́ ement. D ́ eterminer le nombre d’orbites pour cette action ainsi que le cardinal de chacune d’entre elles. Exercice 120 Soit G un groupe d’ordre n poss ́ edant un sous-groupe strict H d’ordre m , et tel que ( n m ) ! < 2 n Montrer que G n’est pas simple. Exercice 121 Montrer que si G est un groupe ne contenant pas de sous-groupe d’indice 2, alors tout sous-groupe d’indice 3 de G est distingu ́ e. Exercice 122 Montrer qu’il n’y a pas de groupe simple 19 d’ordre 945. Exercice 123 Montrer que tout groupe d’ordre 35 est commutatif. Exercice 124 D ́ eterminer les sous-groupes de Sylow du groupe A 4 . V ́ erifier que les r ́ esultats sont coh ́ erents avec les th ́ eor` emes de Sylow. Exercice 125 Soit G un groupe fini et P un p -Sylow de G . Montrer que si H est un sous-groupe distingu ́ e de G , P ∩ H est un p -Sylow de H . Montrer de mˆ eme que P H/H est un p -Sylow de G/H . Exhiber un contre exemple si H n’est pas distingu ́ e dans G Exercice 126 Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre 36. Exercice 127 Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre p 2 q 2 , p et q ́ etant deux nombres premiers distincts (on pourra utiliser l’exercice 126). Exercice 128 19. Un groupe G est simple s’il ne poss` ede pas de sous-groupe distingu ́ e non trivial. 11 Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre 400. Exercice 129 Pour tout entier impair n , d ́ eterminer le nombre de 2-Sylow de D n 12