Étudiant 1 Question de cours. (1) Donner la définition du caractère archimédien de R (2) Donner la caractérisation de la borne supérieure dans R (3) Donner la proposition du passage à la borne inférieure. (4) Soient A et B deux parties non vides minorées de R , montrer que inf( A + B ) = inf A + inf B Exercice 1. Montrer que pour tout x ∈ R et tout p ∈ Z b x + p c = b x c + p Exercice 2. Soient a , b deux réels strictement positifs, la partie { ( − 1) n a + b n, n ∈ N ∗ } est-elle majorée, minorée ? Si oui déterminer la borne supérieure, borne inférieure. 1 2 Étudiant 2 Question de cours. (1) Donner la définition de la partie entière d’un nombre réel. (2) Donner la caractérisation de la borne inférieure dans R (3) Soit A une partie non vide et majorée de R telle que sup A > 0 , montrer que A contient un élément a > 0 (4) Soient A et B deux parties non vides majorées de R , montrer que sup( A + B ) = sup A + sup B Exercice 1. Montrer que pour tout ( x, y ) ∈ R 2 b x c + b y c ≤ b x + y c Exercice 2. Soient a , b deux réels strictement positifs, la partie { a + b n, n ∈ N ∗ } est-elle majorée, minorée ? Si oui déterminer la borne supérieure, borne inférieure. 3 Étudiant 3 Question de cours. (1) Donner la définition de la partie fractionnaire d’un nombre réel. (2) Donner la paramétrisation d’un segment. (3) Donner la proposition du passage à la borne supérieure. (4) Soient A une partie non vide majorée de R et x ∈ R , montrer que sup( x + A ) = x + sup A Exercice 1. Montrer que pour tout ( x, y ) ∈ R 2 b x c + b y c + b x + y c ≤ b 2 x c + b 2 y c Exercice 2. Soient a , b deux réels strictement positifs, la partie { a + ( − 1) n b n , n ∈ N ∗ } est-elle majorée, minorée ? Si oui déterminer la borne supérieure, borne inférieure. 4 CORRECTION Exercice 2 Exercice 3