MATEMÀTIQUES I Tardor 2019 Grup 13 PRIMER CONTROL (Resolt) 07-11-19 1. a) Construïu amb regle i compàs un triangle donats l’angle ˆ A , l’altura b h i la bisectriu b b b) Donat un triangle A BC Δ , sigui D un punt sobre el costat b i E un punt sobre el costat c . És conegut que, si el segment DE és paral·lel al costat a , els triangles ABC Δ i ADE Δ són semblants. És cert el recíproc? És a dir, si els triangles ABC Δ i A DE Δ són semblants, llavors necessàriament el segment DE és paral·lel al costat a ? Si creieu que és cert, demostreu-ho i si creieu que és fals, oferiu un contraexemple. 1+0.5 punts Resolució a) Col·loquem l’angle ˆ A i tracem una paral·lela a la base d’aquest angle a distància b h , així trobem on hi haurà el vèrtex B del triangle. Des d’aquest punt fem un arc amb radi b b i on talli a la base serà el peu de la bisectriu. Cal que b b h b ≤ per a que es produeixi aquesta intersecció. Ara tenim la meitat de l’angle del triangle en B , doblant aquest angle tenim el triangle complet. Si b b h b = , tindrem un sol punt de tall que ens portarà a una sola solució del problema i si b b h b < en tindrem dos, obtenint dos triangles com a solució: ABC Δ i ABC ′ Δ b) No és cert. Vegis un contraexemple: Els dos triangles tenen els mateixos angles, amb ˆ ˆ ˆ D B C E = ≠ = , per tant són semblants, però DE no és paral·lel al costat a , perquè, per ser-ho, haurien de ser iguals els angles en C i en D i també en B i en E 2. D’un triangle rectangle sabem que el peu de l’altura sobre la hipotenusa la parteix en dos segments que estan en proporció 3. Calculeu la proporció entre els seus catets. 1.5 punts Resolució Apliquem el teorema del catet, a cada un dels dos catets i tenim: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 12 12 3 3 3. 4 4 4 x a a x a x a a x x b b x b b x b x = = = = = = = 3. Siguin 3 3 : f → definida per ( ) ( ) , , 3 3 2 , 2 2 2 , 3 3 2 f x y z x y z x y z x y z = − + + − + + − + + i els vectors ( ) 1 1,1,1 v = , ( ) 2 1, 0, 1 v = − − i ( ) 3 1,1, 0 v = a) Doneu la matriu de f en la base canònica. b) Doneu una base i la dimensió dels subespais Ker f i Im f c) Calculeu ( ) 1 1 f v − d) Comproveu que { } 1 2 3 , , B v v v ′ = és una base de 3 i doneu la matriu de f en base B ′ 0.5+1+0.5+0.5 punts Resolució a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 0, 0 3, 2, 3 0,1, 0 3, 2,3 0, 0,1 2, 2, 2 f f f = − − − = = , de manera que la matriu en base canònica és 3 3 2 2 2 2 3 3 2 A − = − − b) Com que el rang 2 A = , tenim que ( ) ( ) dim Im 2 f = i ( ) ( ) ( ) ( ) dim ker 3 dim Im 1 f f = − = Una base del subespai imatge és qualsevol parell de columnes de A que siguin l.i., per exemple, ( ) ( ) { } 3, 2, 3 , 2, 2, 2 − − − i una base del nucli surt de resoldre el sistema: ( ) ( ) 3 3 2 0 3 3 2 0 2 2 2 0 ker 1,1, 0 2 2 2 0 0 3 3 2 0 x x y z x y y f x y z z z − − + + = = − = → → → = − + + = = − Així, una base del nucli pot ser: ( ) { } 1,1, 0 c) ( ) ( ) 1 1 1 1,1,1 f v f − − = és el conjunt de solucions del sistema 3 3 2 1 2 2 2 1 3 3 2 1 x y z − − = − Que resulta ser compatible indeterminat, òbviament amb rang 2. Tenim doncs, 3 3 2 1 3 3 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 3 3 2 1 2 y x x y z x y z z − = − + + = − → → − + + = = − De manera que ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) 1 1 1,1,1 , , , , 1,1,1 , , 2 1 0, 0, 1,1, 0 2 f x y z f x y z x x x x x − = = = ∈ = = + ∈ O sigui, qualsevol vector que, per f , va al ( ) 1,1,1 , s’obté ajuntant una solució particular més qualsevol vector del nucli. Geomètricament, es tracta d’una recta que passa pel punt 1 0, 0, 2 i té com a vector director el ( ) 1,1, 0 d) Construïm una matriu amb aquests vectors i comprovem el seu rang per veure si formen base: 1 1 1 1 0 1 1 1 0 C − = − ; ( ) ( ) det 1 0 rang 3 C C = − ≠ = , per tant, són l.i., formen base de 3 i llavors C és la matriu de canvi de base. La matriu A ′ de f en aquesta base B ′ s’obté de l’operació matricial 1 1 no cal haver fet el càlcul 1 1 1 3 3 2 1 1 1 1 0 1 2 2 2 1 0 1 1 1 0 3 3 2 1 1 0 2 0 0 1 1 1 3 3 2 1 1 1 0 1 0 1 1 0 2 2 2 1 0 1 0 0 0 1 0 1 3 3 2 1 1 0 A C AC − − − − − ′ = = = − − − − − − − = = − − − − − − 4. Siguin 3 3 : f → l’endomorfisme definit per ( ) ( ) , , , , f x y z y z x z ax y = + + + a) Comproveu que, per a qualsevol valor de a , 1 1 λ = − sempre és un valor propi de f b) Per 1 a = , estudieu la diagonalització de f . En cas que sigui diagonalitzable, trobeu una base de vectors propis i la matriu de f en aquesta base. c) Estudieu per a quins valors de a l’endomorfisme f és diagonalitzable. 0.5+ 1+1 punts Resolució a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 0, 0 0,1, 0,1, 0 1, 0,1 0, 0,1 1,1, 0 f a f f = = = , de manera que la matriu en base canònica és 0 1 1 1 0 1 1 0 A a = El polinomi característic és ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 det 1 1 2 1 | 0 1 p f A I a a a a λ λ λ λ λ λ λ λ =− − = − ⋅ = − = − + + + + = ∀ − Com que ja tenim una arrel, és fàcil acabar de factoritzar el polinomi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 5 4 1 5 4 1 1 1 2 2 a a p f a λ λ λ λ λ λ λ + + − + = − + − − + = − + − − b) Si 1 a = , 5 4 3 a + = , la matriu és 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A = i el polinomi característic és ( ) ( ) ( ) 2 1 2 p f λ λ λ = − + − , de manera que els vap’s són 1 1 2 2 1; 2 2 ; 1 m m λ λ = − = = = Anem a veure si diagonalitza, començant pel vap de multiplicitat més gran que 1: Per 1 1 λ = − , cal resoldre els sistema 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 que, evidentment, té rang 1 i les solucions són x y z y y z z = − − = = El subespai de vep’s de vap 1 − té dimensió 2 i una base és ( ) ( ) { } 1 1,1, 0 , 1, 0,1 B − = − − Per 1 2 λ = , cal resoldre els sistema 2 1 1 0 1 2 1 0 1 1 2 0 − − − que té rang 2 i les solucions són x z y z z z = = = El subespai de vep’s de vap 2 té dimensió 1 i una base és ( ) { } 2 1,1,1 B = Reunint les dues bases trobades, ( ) ( ) ( ) { } 1,1, 0 , 1, 0,1 , 1,1,1 B ′ = − − , s’obté una base de 3 formada per vep’s. Per tant, f és diagonalitzable i en aquesta base la matriu esdevé diagonal: 1 0 0 0 1 0 0 0 2 A − ′ = − c) El polinomi característic és ( ) ( ) 1 5 4 1 5 4 1 2 2 a a p f λ λ λ λ + + − + = − + − − . Llavors, Si 1 a = , ja hem vist que surt un vap 1 − amb multiplicitat 2, però hem comprovat que l’endomorfisme diagonalitza. Si 5 5 4 0 i 1 4 a a a + > > − ≠ , l’endomorfisme té tres vap’s reals diferents, per tant, també diagonalitza. Si 5 5 4 0 4 a a + = = − , ( ) ( ) 2 1 1 2 p f λ λ λ = − + − , de manera que té un vap 2 1 2 λ = amb multiplicitat 2. Cal veure la dimensió dels veps d’aquest vap: Si 2 5 1 i 4 2 a λ = − = , cal resoldre 1 0 1 1 2 1 1 1 0 2 5 1 1 0 4 2 − − − − que té rang 2, per tant, les solucions tenen dimensió 1 que no coincideix amb la multiplicitat. L’endomorfisme no diagonalitza. Si 5 5 4 0 4 a a + < < − , hi ha dues arrels no reals, per tant, no diagonalitza. En resum, f només és diagonalitzable per a tot 5 4 a > −