El Mundo De Los Números: Una Propuesta Pedagógica Yasser A. Chavez Resumen. Este texto pedagógico explora una aproximación experimental y narrativa a la enseñanza de las matemáticas en el contexto escolar, articulando secuencias numéricas con elementos poéticos, fantásticos y simbólicos. Introducción La existencia de este texto responde a dos objetivos. El primero es ofrecer una clase de matemáticas con un enfoque humanista, en el que no solo se desarrollen las habilidades propias de esta ciencia, sino que también se integren elementos de otras disciplinas como la literatura, la psicología y la filosofía. Aunque la mayoría de las personas no estén formalmente tituladas en estas áreas, es innegable que todo ser humano, a lo largo de su vida, construye una forma personal de entender y vivir estas disciplinas, nacida más de la experiencia que del estudio académico. Por eso, en este texto propongo una aproximación interdisciplinaria: de la literatura, incorporo la narrativa como herramienta pedagógica; de la psicología, el reconocimiento y tratamiento de emociones como la frustración; y de la filosofía, aunque menos evidente, una reflexión constante que impregna todo el texto. Mi intención es acercar los números a cualquier persona de una manera más pura y esencial, a través del lente de la teoría de números. Vivimos en un mundo donde el número ha perdido su alma, reducido muchas veces a cifras impersonales que habitan el comercio, las redes sociales y la estadística. Aunque este tema me sobrepasa, considero importante que todo ser humano, antes de morir, tenga la oportunidad de reencontrarse con el número en su dimensión más humana, bella y significativa, como la que intentaré presentar a lo largo de este trabajo. El segundo objetivo consiste en presentar el texto matemático titulado “Sumas de Potencias de Números Naturales Mediante Secuencias Combinatorias” que constituye una continuación lógica y necesaria dentro del enfoque propuesto. Estructura Narrativa: Esta sección tiene como objetivo introducir al alumno de forma gradual en cada capítulo y establecer una conexión entre ellos, de modo que las seis narrativas se integren en una historia coherente y significativa, en armonía con los contenidos matemáticos presentados. Ruta 1: Esta sección tiene como objetivo estimular el aspecto más lúdico de las matemáticas, anticipando de forma intuitiva el descubrimiento de secuencias antes de abordar un enfoque más estructurado. Ruta 2: Esta sección tiene como objetivo presentar el aspecto más estructurado, abstracto y riguroso del texto, enfocándose exclusivamente en las cinco primeras sumas de potencias. Análisis: Esta sección está destinada a analizar el contenido del capítulo, subrayando los aspectos más relevantes y significativos. Capítulo 0: El Origen Narrativa: En el mundo primitivo de los números, tras una total tranquilidad, hace 13,800 millones de años, emergió el numero uno. En su forma mas primitiva, este numero carecía de conciencia y definición, pero era solo cuestión de tiempo para que evolucionara hacia un forma mas abstracta. Pasaron miles de años antes de que el numero uno cambiara no solo su apariencia, sino también su esencia. Al cobrar conciencia, comenzó a preguntarse que era aquel lugar de apariencia vacía. Intrigado, decidió explorar ese mundo desconocido. Sin embargo, después de años de búsqueda, no encontró mas que vació y desolación, lo que provoco una profunda tristeza. Pero entonces ocurrió lo impensable. ¿Otro numero uno? No, algo aún más sorprendente: infinitos números unos, en sus formas mas primitivas, comenzaron a emerger por todo el espacio. Al presenciar este evento extraordinario, el numero primigenio quedo asombrado, pero también lleno de preguntas: ¿Que los hizo aparecer de la nada? ¿Por que se ven diferentes a mi? ¿Cual es su propósito? Estas y muchas otras dudas invadieron su mente. Ruta 1: Análisis: El capítulo 0 introduce el concepto de secuencia numérica, que por definición es una lista de números que siguen una regla o patrón, y se presentan las primeras tres secuencias que podemos considerar fundamentales, dado que (1) es un caso particular del triángulo de Pascal, (2) es un caso particular del triángulo impar, y (3) rompe con la idea de que cualquier secuencia que no sea de origen artificial debe iniciar con el 1. Esto se debe a que se trata de una subsecuencia de los números naturales, y con ello se establece que toda subsecuencia de índice par inicia en 0. Aunque el enésimo término de una suma parcial se compone de todos los términos anteriores, el 1 pertenece exclusivamente a la subsecuencia de índices impares, por lo que se le puede considerar el punto de partida; el 0, en cambio, puede estar presente en ambas subsecuencias. Por lo tanto, este capítulo es meramente conceptual y desarrolla el sentido numérico con un fuerte enfoque en las secuencias numéricas. (1) 1, 1, 1, 1, 1, ..., 1, 1 (2) 1, 2, 2, 2, 2, ... , 2, 2 (3) 0, 2, 2, 2, 2, ... , 2, 2 Capítulo 1: La Llave Dorada Narrativa: El número uno se percató de la existencia del mundo donde habitan los humanos: el planeta Tierra. Este evento ocurrió hace aproximadamente 22,000 años. Por un momento, el número uno pudo observar aquel mundo tan primitivo, pero ordenado, algo que contrastaba con el suyo, aunque con un entendimiento de la matemática muy inferior. Por ello, decidió convertirse en el puente que conectara ambos mundos: una alianza que se beneficiaría del orden de los humanos y de la tecnología que les proveerían los números. Así que escondió una llave que abre la puerta que resguarda el mundo de los números, donde se atesoran los más grandes enigmas de las matemáticas. Ruta 2: Antes de la transición a la generalidad, es importante partir de lo particular y plantear el problema de sumar los primeros 100 términos de la secuencia (4), sin "contaminar" al estudiante (es decir, omitiendo el Capítulo 0) con enfoques que podrían anticipar o facilitar la solución. Por ello, se propone dar al alumno cinco minutos para desarrollar sus propios procedimientos —correctos o no—, ya que lo verdaderamente valioso es el choque entre dos formas de razonamiento: ver los números como cifras aisladas o como familias numéricas (secuencias). La solución más comúnmente establecida —emparejar cada número con su extremo (n+1) y multiplicar por el número de parejas (n/2)— servirá como transición hacia el enfoque que desarrollaremos a lo largo del texto. «Razonamiento» Extraer las dos subsecuencias de (4) para n = 100: El patrón de los números impares (1+3+5+...+(2n−1) = n²) es el que vamos a explotar, dado que los alumnos tienen una familiaridad inmediata con los números cuadrados (que aparecen en las tablas de multiplicar o en diversas actividades lúdicas), a diferencia de los números triangulares (1,3,6,10,15,...). (4) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... , ( n − 1 ) , n 1 , 0, 3, 0, 5, ..., 99, 0 0, 2, 0, 4, 0, ..., 0, 100 Descomponer la secuencia de números pares: Encontrar la sumatoria de las tres secuencias resultantes no debería ser difícil. Cabe recalcar la importancia de notar que las tres secuencias están intercaladas entre ceros, por lo que el desarrollo es el siguiente: ∑ k = 1 n 2 2k − 1 = ( n 2 ) 2 = n 2 4 , ∑ k = 1 n 2 1 = n 2 Por lo tanto, la sumatoria de (4) es igual a: La respuesta del caso particular para n = 100 es 5050, lo cual equivale a 2 ∙ 50^2 + 50. A partir de este resultado, se busca una generalización con ayuda de un álgebra muy básica, limitada únicamente a manipulaciones elementales. Desde este punto, no volveremos a recurrir al álgebra tradicional, sino que pasaremos a un tipo de álgebra simbólica, en la que la mayor parte del trabajo operativo se traslada al dominio de la aritmética. Prescindiremos del uso de variables y operaremos directamente sobre los términos de las secuencias, siguiendo la estructura de las sumatorias —concretamente, la de las sumas de potencias de los primeros números naturales. La sumatoria se desarrolla en dos sentidos. El primero, por ejemplo: en ∑k², tenemos una sumatoria de cuadrados, donde primero se multiplicó y luego se sumó. Para deshacer esta operación, simplemente aplicamos las operaciones inversas: la resta y la división, respectivamente. De este modo, abordaremos la mayoría de las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Ruta 1: 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , ... , 0 , 1 (4.1) 1, 6, 15, 28, ..., C ( 2n, 2 ) (6) 2 ⋅ n 2 4 + n 2 = n 2 2 + n 2 = n ( n + 1 ) 2 = C ( n + 1, 2 ) 0, 1, 0, 3, 0, ..., 0, 99 (5) 0 , 3 , 10 , 21 , ... , C ( 2 n − 1 , 2 ) Antes que el alumno descubra o profundice en el triangulo de pascal es de gran importancia que descubra de forma orgánica los números tetraédricos (1,4,10,20,35,...) antes de llegar a la sumatoria de números cuadrados para aligerar la carga de toda la basta información que proporciona el triangulo y no se convierta en una especie de tabla de multiplicación que recae en la memorización sin un sentido inmediato lo que puede provocar un desinterés por parte del alumno por lo que las secuencias (5) y (6) tienen cierta creatividad dentro de lo permitido por ejemplo algún alumno puede proponer la secuencia (1,3,4,6,9,10,16,15,...) que consta de los números cuadrados intercalados con los números triangulares si bien los números tetraédricos hacen presencia en las dos secuencias seria mas difícil de ver que en las las secuencias (5) y (6) dado que la secuencia intercalada tiene mas ruido (múltiples secuencias combinadas). «Razonamiento» Realizaremos las operaciones de suma y resta entre (5) y (6): En el caso de la suma, podemos observar que el resultado consiste en los números impares elevados al cuadrado. Por otro lado, en la resta, los números impares siguen un patrón familiar. El nuevo patrón se encuentra en la suma de los números impares elevados al cuadrado, lo que da como resultado C(2n+1, 3). Los primeros cinco números son: 1, 10, 35, 84, 165, entre otros. Al combinar ambas operaciones y sustituir una secuencia, podemos derivar las siguientes dos fórmulas: ∑ k = 1 n C ( 2k, 2 ) = C ( 2n + 1, 3 ) + n 2 2 , ∑ k = 1 n C ( 2k − 1, 2 ) = C ( 2n + 1, 3 ) − n 2 2 Análisis: El capítulo 1 representa un punto de inflexión en el aprendizaje de los alumnos, ya que abandonan los métodos tradicionales y adoptan un enfoque centrado en las secuencias. En este contexto, se introducen las dos primeras familias de secuencias: la primera (1), que genera el triángulo de Pascal, y la segunda (2), que también forma un triángulo cuya estructura se desarrollará con mayor claridad en el capítulo 2. El triángulo de Pascal, debido a su sencilla construcción, cuenta con una amplia variedad de recursos didácticos, lo que también favorece la enseñanza del segundo triángulo. 1 + 0 = 1 6 + 3 = 9 15 + 10 = 25 28 + 21 = 49 45 + 36 = 81 C ( 2n, 2 ) + C ( 2n − 1, 2 ) = ( 2n − 1 ) 2 1 − 0 = 1 6 − 3 = 3 15 − 10 = 5 28 − 21 = 7 45 − 36 = 9 C ( 2 n , 2 ) − C ( 2 n − 1 , 2 ) = 2n − 1 Triangulo de Pascal La construcción del triángulo de Pascal, así como la de su variante (2), es lo suficientemente sencilla como para prescindir del álgebra en esta etapa. Basta con introducir una notación que permita referirse a números específicos dentro del triángulo. Se recomienda presentar aquí el triángulo completo, al menos con sus primeras seis diagonales, lo cual es más que suficiente para los propósitos didácticos. De forma paralela, puede mostrarse la variante (2), que consiste en reemplazar una de las diagonales extremas por una secuencia de números 2, sin modificar el número en la cúspide de la pirámide. Es importante notar que esta variante da lugar a los números que resuelven la sumatoria de cuadrados, por lo cual se sugiere introducirla después de haber planteado y resuelto dicho problema. Los coeficientes binomiales que forman las diagonales en el triángulo son la primera familia de secuencias que podemos derivar de este, donde denotaremos el coeficiente binomial como C(n, k). La segunda familia de secuencias que podemos derivar del triángulo es una secuencia que se construye a partir de la suma C(n+k-1, k) + C(n+k-2, k), y la denotaremos como S(n, k). El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales en forma de triángulo, llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal (1623-1662). Capítulo 2: La Espiral Narrativa: En el mundo de los números, suelen existir espirales en las que es fácil entrar pero difícil salir. Solo aquellos que no tengan miedo de sumergirse en lo más profundo podrán descubrir los patrones ocultos que subyacen en ellas. Así podrán descifrar una y cada una de las infinitas espirales que esperan ser descubiertas. Ruta 1: La dos nuevas relaciones, cada una compuesta por tres secuencias, cuyo objetivo es calcular C(4n+1, 3) y ∑C(2k+1, 3). En cada caso, se revelará una de las dos secuencias del lado izquierdo, lo que permitirá al alumno descubrir por sí mismo la secuencia faltante, ya sea identificando una regla de divisibilidad evidente o aplicando alguna operación sencilla, como una suma o una resta. Ruta 2: «Razonamiento» La solución a este problema consiste en enfocar la atención en los números impares, ya que su suma produce el enésimo número cuadrado. A partir de esto, podemos reescribir la expresión (2n−1) como (n + (n−1)), lo cual nos conduce naturalmente a la definición de S(n, k). Es en este punto donde el alumno comprende esta conexión y está preparado para explorar las secuencias S(n, k). No obstante, ya desde la Ruta 1 se anticipa la aparición de los números tetraédricos y S(n+2, 4). Por lo tanto, la sumatoria de (9) es igual a: C ( 2n + 2, 4 ) − 4 ⋅ S ( n + 2 , 4 ) = ∑ k = 1 n C ( 2 k + 1 , 3 ) (9) ∑ k = 1 n k 2 = C ( n + 1, 3 ) + C ( n + 2, 3 ) = S ( n + 2 , 3 ) 8 ⋅ C ( 2n + 1, 3 ) + 2n = C ( 4n + 1, 3 ) 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , ... , ( n − 1 ) 2 , n 2 (7) (8) (9.1) Análisis: El capítulo 2 es una extensión del capítulo 1, en la que no se presenta ningún desafío adicional, salvo que el alumno ya debe estar explorando las primeras secuencias S(n, k) y comenzando a concebirlas como una familia de secuencias. Este proceso no debe basarse en la memorización forzada, sino desarrollarse de forma orgánica conforme el alumno avance por la Ruta 1. Capítulo 3: La Conferencia Narrativa: Del otro lado de aquella espiral nos esperaban unos números que se veían familiares pero tenían como un sombrero en la cabeza, como si de un cumpleaños se tratase. Nos guiaron hacia una conferencia que iba a dar el número dos sobre números primos que son pares y sin darnos cuenta ya éramos uno más con los números. Ruta 2: Al igual que en el capítulo 1, es probable que el alumno se sienta tentado a utilizar la solución directa ∑k³ = C(n+1, 2 )². Sin embargo, este capítulo se encarga de eliminar por completo las soluciones triviales, ya que solo generan una falsa sensación de avance en la resolución del problema. No obstante, no se descarta que el alumno identifique el patrón relacionado con los números triangulares y su conexión con la suma de cubos. «Razonamiento» Partiendo de la ecuacion ∑ k³ = C(n+1, 2)², restaremos C(n+1, 2): C(n+1, 2)² – C(n+1, 2) /6 1 – 1 = 0 0 9 – 3 = 6 1 36 – 6 = 30 5 100 – 10 = 90 15 225 – 15 = 210 35 Por lo tanto, la sumatoria de (10) es igual a: El razonamiento anterior es el menos directo de entender, pero se fundamenta en la estructura impar- impar-par-par-impar-impar... que siguen las secuencias provenientes de la suma de potencias. Esto se deduce fácilmente, dado que un número impar elevado a cualquier exponente sigue siendo impar, y de igual forma ocurre con un número par. Aunque no se trate de una demostración rigurosa de (10.1), este razonamiento facilita el desarrollo del enfoque. (10) 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3 , ... , ( n − 1 ) 3 , n 3 ∑ k = 1 n k 3 = 6 ⋅ C ( n + 2, 4 ) + C ( n + 1, 2 ) (10.1) Capítulo 4: El Valle De Los Espejos Narrativa: En un lugar misterioso en el mundo de los números, en un valle lejano, están colocados unos espejos donde los números pueden ir a reflejarse, como una de esas atracciones de circo donde uno se puede ver múltiples veces. Parece ser que es una zona donde los números pueden ir a divertirse con sus reflejos, pero hay algo más profundo que esto. Ruta 1: Tabla-Numérica 1² + 0 = 1 3² + 1 = 10 7² + 1 = 50 13² + 6 = 175 22² + 6 = 490 34² + 20 = 1176 El alumno reconoce las dos secuencias en el lado izquierdo de las ecuaciones (11.1) y (11.2). Aunque se presentan por separado, deben entenderse de forma combinada, como puede observarse en la tabla. El propósito de esta compleja relación es que el alumno entre en contacto con una matemática de naturaleza más caótica, donde no es evidente por qué (11.1) y (11.2) convergen en los números de Narayana. Sin embargo, incluso en medio de este aparente caos, los estudiantes podrán reconocer que lo aprendido está conectado y forma una especie de red, donde cada nodo representa una relación. Esto da un sentido más profundo al aprendizaje, que va más allá de resolver por resolver o memorizar por memorizar. Ruta 2: Es la primera vez que el alumno entrará en contacto con la verdadera esencia de la Ruta 2, la cual está fundamentada en el enfoque que expongo en [ 1 ]. En resumen, se trata de comprender la naturaleza del problema, que es una sumatoria; por lo tanto, intervienen operaciones como la resta, la multiplicación y la suma. Dado que en varias ocasiones se calcularán secuencias que ya se han trabajado previamente, será posible identificar patrones, lo que permitirá avanzar directamente a partir de dichas secuencias previas. ( ∑ k = 1 n C ( 2 k + 1 , 2 ) ) 2 + S ( n + 3 , 4 ) = N ( 2 n + 3 , 4 ) (11.2) ( ∑ k = 1 n C ( 2k, 2 ) ) 2 + S ( n + 2, 4 ) = N ( 2n + 2, 4 ) (11.1) «Razonamiento» Partiendo de la ecuación (10.1), aplicaremos el (M.D) a ambas secuencias: ∆C(n+2, 4)∙n ∆ C(n+1, 2) ∙n 0∙1 = 0 1∙1 = 1 1∙2 = 2 2∙2 = 4 4∙3 = 12 3∙3 = 9 10∙4 = 40 4∙4 = 16 20 ∙5 = 100 5∙5 = 25 Notamos una divisibilidad entre 2 en el lado izquierdo de la tabla, lo que da como resultado S(n+2, 4). En el lado derecho, tenemos n² = S(n+1, 2). Si aplicamos el siguiente paso, que consiste en realizar las sumatorias, obtenemos como resultado S(n+3, 5) y S(n+2, 3). Por lo tanto, la sumatoria de (12) es igual a: Análisis: El capítulo 4 refuerza la comprensión de los conceptos de sumatoria y suma parcial , dejando en claro que el contexto se centra en sumas finitas . En esta etapa, el alumno podrá operar con mayor soltura sobre las secuencias, ya que, al analizar expresiones como C(n, k) y S(n, k), se observa que no son más que sumas encadenadas: la suma de la suma de la suma. Cuando identifiquemos una secuencia conocida y queramos realizar operaciones como ∑ S(n+3, 4) notaremos que se trata simplemente de un aumento en el valor de k, sin dejar de considerar el ajuste correspondiente en n. (12) 1 4 , 2 4 , 3 4 , 4 4 , ... , ( n − 1 ) 4 , n 4 ∑ k = 1 n k 4 = 12 ⋅ S ( n + 3 , 5 ) + S ( n + 2 , 3 ) (12.1) Capítulo 5: El Carnaval Narrativa: En el mundo primitivo de los números, el uno se dio a la tarea de conectar con espirales los distintos lugares donde vivían los demás números. En uno de estos lugares se encuentra el carnaval numérico, que se celebra cada año y donde se pueden ver secuencias de lo más interesante. Ruta 1: La forma natural de descubrir los números de Narayana es a partir de multiplicar los números tetraédricos, como se detalla en (13). Sin embargo, gracias a que el alumno ya los anticipó en (11.1) y (11.2), se crea un efecto de familiaridad y curiosidad por esta secuencia, que aparece en dos ocasiones vinculada a secuencias ya conocidas. Presentar esta familia de secuencias al alumno lo dejaré a criterio del lector, dado que este es el último capítulo del texto y el único en el que aparece la secuencia N(n+3, 4), y por ende, la última suma de potencias. Los números de Narayana surgirán en sumas posteriores. Ruta 2: «Razonamiento» Partiendo de la ecuación (12.1), aplicamos el (M.D) a ambas secuencias: ∆S(n+3, 5)∙n ∆S(n+2, 3)∙n 0∙1 = 0 1∙1 = 1 1∙2 = 2 4∙2 = 8 6∙3 = 18 9∙3 = 27 20∙4 = 80 16∙4 = 64 50∙5 = 250 25∙5 = 125 En el lado derecho de la tabla se obtiene n³, cuya sumatoria es igual a C(n+1, 2)². En el lado izquierdo, se observa una divisibilidad entre 2 que da lugar a ΔN(n+2, 4); por lo tanto, su sumatoria es igual a N(n+2, 4), ya que la sumatoria es la operación inversa de la diferencia finita (diferencia entre dos términos consecutivos). C ( n + 2, 3 ) ⋅ C ( n + 3, 3 ) = 4 ⋅ N ( n + 3, 4 ) (14) 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , ... , ( n − 1 ) 5 , n 5 (13) Por lo tanto, la sumatoria de (14) es igual a: Análisis: El capítulo 5 —concretamente la suma de quintas potencias— es donde el enfoque toma forma y se distingue de otros métodos. A diferencia de enfoques que expresan las sumas de potencias utilizando únicamente las secuencias S(n, k) o C(n, k), o del método de Faulhaber, que usa exclusivamente C(n, k) con exponentes añadidos, nuestro enfoque se basa en el uso combinado de las tres secuencias: C(n, k), S(n, k) y N(n, k). Podemos notar dos aspectos importantes en la Ruta 2. El primero es la existencia de un ciclo entre las secuencias C(n+1, 2)² y S(n+2, 3), donde una conduce a la otra. Por lo tanto, las fórmulas deben contener necesariamente alguna de estas dos secuencias, que mantienen la estructura impar–impar–par– par, y así sucesivamente. El segundo aspecto es la necesidad de tener cuidado al detectar alguna divisibilidad, ya que esta se traduce en una multiplicación que afecta a los coeficientes que arrastran las secuencias anteriores. ∑ k = 1 n k 5 = 24 ⋅ N ( n + 2 , 4 ) + C ( n + 1 , 2 ) 2 (14.1) Notas Del Autor: En esta sección compartiré ideas relacionadas con el enfoque, tanto desde una perspectiva más matemática como desde otras que trascienden lo que comúnmente se busca en las escuelas. También narraré brevemente cómo nació este enfoque, ya que solo así puede comprenderse el misticismo que atribuyo a los números y la visión que tengo sobre el propósito de este texto. El lector ya se habrá dado cuenta de que este enfoque, en esencia, se basa en una aritmética muy vaga: se hace lo mínimo y se espera recibir una respuesta que dé por terminado el problema. Lo que nos lleva a plantear la siguiente pregunta: ¿dónde paga el alumno esta vagueza? La respuesta es sencilla: el alumno se hace más consciente del problema. Capítulo 1: Al abandonar un razonamiento bello —como el de Gauss—, ya que este enfoque culmina en un álgebra que resulta poco útil para nuestros fines. Capítulo 2: La definición de S(n, k) desarrolla por sí misma la noción de sumatoria y, con ello se explota el patrón impar ( ∆ n² = 2n-1 ). Capítulo 3: Se hace consciente de la estructura impar-impar-par-par de las sumas de potencias. Capítulo 4: La naturaleza del problema se ve refleja en el método directo. Capítulo 5: El método directo se refina en el plano operativo. En comparación con el enfoque tradicional —las “sumas telescópicas”—, un enfoque vago sin más, puedo parecer que desprecio el álgebra en todo el texto. La verdad es que no. Aunque reprobé matemáticas en el primer semestre en el CONALEP, desde un inicio mi enfoque fue puramente algebraico al tratar de abordar el problema de las sumas de potencias. En el proceso, creé fórmulas de las más raras, que aún conservo en mis libretas. Pero, por efectos prácticos y pedagógicos, encuentro mejor este enfoque. No obstante, si uno verdaderamente quiere profundizar en el problema, tiene que ver forzosamente a Jakob Bernoulli, donde encontrará más álgebra de la que hay aquí. Dejando a un lado lo matemático, hay una sensación que no puedo describir, pero es algo parecido a lo que sienten las personas afines a la numerología con los números. Ocurre al aplicar el método directo a las secuencias y comenzar a ver secuencias que nos resultan familiares. Dado que primero vemos un término y luego el siguiente, hay un suspenso: ¿será la secuencia en la que estás pensando? Y cuando tienes suficientes términos para estar seguro, eso provoca una sonrisa. Mientras más se resistan a revelarse, mayor es el goce. Es posible que esa misma sonrisa aparezca otra vez en lo cotidiano, porque estamos rodeados de números. Para terminar, no pretendo que se siga al pie de la letra todo mi texto; puede adaptarse tanto como el lector lo considere conveniente, pero siempre procurando que el alumno descubra esa sensación indescriptible de la que hablo. Agradecimientos. Este texto no podría haber sido escrito sin la ayuda de mi abuela María Esther. Referencias [ 1 ] Chavez, Y. (2025). Sumas de Potencias de Números Naturales Mediante Secuencias Combinatorias [version 1] [preprint]. Mathematics. Palabras clave: Pedagogía, Secuencias Numéricas, Combinatoria. Contacto: math.yasserarath@gmail.com