1 האוניברסיטה הפתוחה המחלקה למדעי הטבע / פיסיקה פיזורים מ פוטנציאל יוקאווה ופוטנציאל קולון במקרה הלא יחסותי ובמקרה היחסותי סמינריון בקורס: פיסיקה של החלקיקים היסודיים - 20326 מגיש: עידן אברמוב מדריך: פרופסור יוסף ורבין 2 1 תקציר בעבודה זו, נחקור פיזור של חלקיקים בהשפעת הכוח הגרעיני החזק והכוח החשמלי )למשל פיזור של פאיון מפרוטון(. בעוד שהכוח החשמלי מוכר וידוע, הבעיה הראשונה היא לתאר מתמטית את הכוח הגרעיני החזק אשר חזק מאוד במרחקים מאוד קטנים ואילו חלש מאוד במרחקים ארוכים יותר. בעיה זו פתר הפיסיקאי הידקי יוקאווה כאשר בחר לתאר את הפוטנציאל הקשור בכוח החזק בפוטנציאל יוקאווה; יש בו איבר המתבדר חזק במרחקים קטנים מאוד ואיבר הדועך ממש במרחקים ארוכים יותר. כפי שנראה, הפוטנציאל מהווה קירוב לתוצאות הניסיוניות. הבעיה ה מרכזית היא לחקור את הפיזור ומציאת חתכי הפעולה להתנגשות בהשפעת הכוח האלקטרומגנטי והכוח החזק. אנו נבצע חישובים של חתך הפעולה לתהליכים של פיזור אלסטי בהשפעת פוטנציאל יוקאווה ופוטנציאל קולון. אם כן, כדי להבדיל בין המקרים היחסותי והלא יחסותי, נחשב ונמצא את חתכי הפעולה לפיזור באנרגיות נמוכות )מקרה ל א יחסותי( ואנרגיות גבוהות )מקרה יחסותי(. במקרה הלא יחסותי, נמצא את הצורה האינטגרלית של משוואת שרדינגר, נשתמש בקירוב בורן הראשון כדי לחלץ את אמפליטודת הפיזור ומכאן נחשב את חתכי הפעולה לפיזור עבור המקרה הלא יחסותי. נשרטט גרפים של חתך הפעולה הדיפרנציאלי לפיז ור במקרה הלא יחסותי עבור פאיון חיובי, שלילי ונייטרלי. במקרה היחסותי, נמצא את הצורה האינטגרלית של משוואת קליין - גורדון )מתאימה לחלקיק יחסותי חסר ספין כמו הפאיון(, נשתמש בקירוב בורן הראשון כדי לחלץ את אמפליטודת הפיזור, נשווה לתוצאות הניסיוניות באנרגיות גבוהות כדי למצוא את קבוע הצימוד המתאים ומכאן נחשב את חתכי הפעולה לפיזור עבור המקרה היחסותי. נשרטט גרפים של חתך הפעולה הדיפרנציאלי לפיזור במקרה הלא יחסותי עבור פאיון חיובי, שלילי ונייטרלי. 2 מבוא פיסיקאים ניסו להסביר את מודל גרעין האטום של הפיסיקאי ג'יימס צ'דוויק אשר גילה את הניוטרון בשנת 1932 ] 2 [ צ'דוויק סבר כי פרוטונים וניוטרונים מוחזקים בתוך גרעין אשר הרדיוס שלו הוא מסדר גודל של 10 ି ଵସ מטרים. הפיסיקאים של אותה התקופה ידעו כי הכוחות הא"מ בין הפרוטונים במרחקים כאלה יגרמו לגרעין להתפרק, מה שכאמור לא קורה ; הפרוטונים נשארים במקומם בתוך הגרעין. אם כן , הם הניחו שישנו כוח נוסף אשר משאיר את הפרוטונים במקומם. הם קראו לו בפשטות "הכוח החזק". אך אם קיים כוח כזה, מדוע אנו לא נתקלים בו בחיי היום - יום? הסיבה היא כמובן, שהכוח החזק הוא קצר טווח מאוד ומעבר למרחקים הקטנים הללו, הוא דועך מהר לאפס. בשנת 1932 הפיסיקאי ורנר הייזנברג העלה תיאוריה ] 7 [ שבה הניוטרונים מורכבים מפרוטונים ואלקטרונים. הוא סבר כי הניוטרונים יפלטו אלקטרונים אשר יצרו כוחות משיכה בתוך הגרעין לפני שיהפכו לפרוטונים בעצמם. הבעיה היא שאלקטרון עם ספין ଵ ଶ ופרוטון עם ספין ଵ ଶ , אינם יכולים להרכיב ניוטרון שגם לו יש ספין ଵ ଶ בשנת 1934 , הפ יסיקאי אנריקו פרמי שיער ] 7 [ כי בנוסף לאלקטרון הנפלט בדעיכת ביתא של הניוטרון , נפלט גם אנטינייטרינו. כך אמנם נפתרת הבעיה של הספין אך מתברר כי האינטרקציות הללו שגורמות להתפרקות ביתא אינן חזקות מספיק כדי להחזיק את הפרוטונים בתוך הגרעין. בשנת 1934 , הפיסיקאי היפ ני הידקי יוקאווה תיאר ] 2 [ פוטנציאל שבו ישנו איבר שדועך מהר עם המרחק ) 𝑒 ି ఈ ( ואיבר של דעיכה דמויית א"מ עם המרחק ) ଵ .( באנלוגיה לתורת השדות הקוואנטי ים , יוקאווה ידע כי הפוטנציאל והשדה הנגזר ממנו מוכרחים להיות כתוצאה מחילופי חלקיקים נושאי כוח. הוא שאל מהם המאפיינים של חלקיק נושא הכוח הזה אשר גורם לאינטרקציה החזקה? הוא השתמש בתיאוריה שלו וחישב כי מסת החלקיק המדובר היא בערך פי 300 ממסת האלקטרון ופיסיקאים כינו אותו "מזון". 3 ב - 1947 הפיסיקאי ססיל פאוול ושותפיו גילו ] 2 [ את המזון המדובר. המזון הזה נקרא פאיון. ל פאיון יש 3 תצורות: בעל מטען חיובי, נייטרלי ושלילי. המטען של הפאיונים החיובי והשלילי הוא מטען יחידה ) ± 𝑒 ( ומסת שלושת הפאיונים ה יא בקירוב 140 𝑀𝑒𝑉 כשמדברים על אינטרקציות בין חלקיקים )כמו למשל פאיון ופרוטון ( , אי אפשר שלא לדבר על בעיית הפיזור: בהינתן חלקיק נע עם אנרגיה קינטית מסויימת ופרמטר פגיעה מסויים אשר מתפזר מחלקיק אחר כתוצאה מכוח המופעל עליו ע"י החלקיק האחר, מהי זווית הפיזור? או יותר מדויק; כשמדובר באלומה של חלקיקים המתפזרת, מהו חתך הפעולה לפיזור? כשמדובר על הכוח החשמלי בלבד, אנו יודעים לתאר את ה פיזורים הללו היטב במסגרת המכניקה הקלאסית. את הפיזור הנובע מהכוח החזק לעומת זאת, פיסיקאים יודעים לתאר ע"י שימוש בדיאגרמות פיינמן במסגרת תורת השדות של הכוח החזק - QCD ] 2 [ אנו ננסה להשתמש בפוטנציאל יוקאווה כדי להציג דרך, אמנם מקורבת, כדי לחשב את חתך הפעולה לפ יזור אלסטי בהשפעת הכוח החזק. במקרה הלא יחסותי, נשתמש במשוואת שרדינגר אשר מדברת על בעיה קוונטית לא יחסותית ואילו במקרה היחסותי, נשתמש במשוואת קליין - גורדון אשר מתארת בעיה קוונטית יחסותית של חלקיק חסר ספין )כמו הפאיון(. נציין כבר עתה שחישוב חתכי הפעולה שיוצג ו בעבודה זו מתאימים לתוצאות הניסיוניות בהתנהגות שלהם ובסדר הגודל בלבד. היתרון העיקרי של המודל בו אנו משתמשים לחישוב חתכי הפעולה הוא העובדה שניתן לקבל בעזרתו תוצאות אנליטיות ולהבין את ההתנהגות האיכותית של תלות חתך הפעולה בפרמטרים פיסיקליים כמו אנרגיית ההתנג שות, זווית הפיזור, חוזק האינטראקציה )כלומר קבוע הצימוד( וכו'. כדי לאפשר את קבלת התוצאות האנליטיות, יש לבצע כמה הנחות מפשטות וקרובים גסים למדי, אולם גם כך ניתן לקבל תוצאות קרובות על ידי התאמת ערכו של פרמטר אחד שהוא גודלו של קבוע הצימוד. 4 3 רקע 3.1 רקע פיסיקלי 1 3.1. פיזור קלאסי [1] נושא הפיזור הינו חשוב מאוד בע נפים השונים של הפיזיקה. מחישוב פרמטרים של פיזורים נוכל לקבל מידע רב על תכונות הגופים המפוזרים והמתפזרים. בהקדמה זו נציג בקצרה מושגים מרכזיים בתורת הפיזור הקלאסי. נניח שגוף נקודתי מתפזר כתוצאה מאינטראקציה מסוימת הפועלת עליו. הגוף נע בתחילה )רחוק מאוד ממרכז הפיזור, ראה איור 3.1.1.1 ( עם אנרגיה 𝑬 ופרמטר פגיעה 𝒃 וכתוצאה מהאינטראקציה הגוף נע כעת )שוב – רחוק מאוד ממרכז הפיזור( בזווית פיזור 𝜽 ביחס ל כיוון התנועה ההתחלתי שלו. בהינתן האנרגיה ופרמטר הפגיעה, נרצה לחשב את זווית הפיזור וממנה את חתך הפעולה של הפיזור. איור 3.1.1.1 : בעיית הפיזור הקלאסית. נוכל לראות את פרמטר הפגיעה 𝑏 וזווית הפיזור 𝜃 באופן כללי, אלומת חלקיקים הנעה ב חתך רוחב דיפרנציאלי 𝒅𝝈 תתפזר ל אלמנט זווית מרחבית 𝒅𝛀 איור 3.1.1.2 : חלקיקים בתוך השטח 𝑑𝜎 יתפזרו בזווית 𝑑 Ω גורם הפרופורציה בין 𝑑𝜎 ל - 𝑑 Ω , 𝑫 ( 𝜽 , 𝝓 ) , נקרא חתך הפעולה הדיפרנציאלי לפיזור: 𝑑𝜎 = 𝐷 ( 𝜃 , 𝜙 ) 𝑑 Ω ( 3 1 ) מ איור 3.1.1.2 נראה כי 𝑑𝜎 = 𝑏 𝑑𝑏𝑑𝜙 ואילו 𝑑 Ω = sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 אזי , במקרה של סימטריה אזימוטלית, נקבל כי הקשר בין חתך הפעולה הדיפרנציאלי לפיזור לפרמטר הפגיעה הוא: 𝐷 ( 𝜃 ) = ୱ୧୬ ఏ ቚ ௗ ௗఏ ቚ ( 3 2 ) 5 חתך הפעולה הכולל לפיזור 𝝈 , הוא השטח האפקטיבי מתוך חתך ה רוחב של ה אלומה המקורית אשר י תפזר כתוצאה מהאינטראקציה . נקבל אותו ע"י ביצוע אינטגרל על 𝐷 ( 𝜃 , 𝜙 ) עבור כל הזוויות האפשריות: σ = න 𝐷 ( 𝜃 , 𝜙 ) 𝑑 Ω ( 3 3 ) ניקח דוגמה כדי להמחיש מהו חתך הפעולה: במקרה של פיזור מכדור קשיח עם רדיוס 𝑅 למשל, ניתן להראות מגאומטריה פשוטה כי הקשר בין פרמטר הפגיעה לזווית הפיזור הוא 𝑏 = 𝑅𝑐𝑜𝑠 ఏ ଶ . אזי נקבל מ משואה ) 3.2 ( שחתך הפעולה הדיפרנציאלי הוא ோ మ ସ ומאינטגרציה על אלמנט זווית מרחבית, נקבל שחתך הפעולה הכולל הוא 𝜋𝑅 ଶ ; כלומר שטח חתך של כדור ברדיוס 𝑅 זוהי התוצאה שציפינו לה, כיוון שכל אלומה אשר תחרוג מהחתך הזה )שמרכזו הוא מרכז הכדור, כלומר מרכז הפיזור( לא תתפזר כלל )לא תהיה לה כל אינטרקציה עם הכדור(. עבור חלקיק בעל מטען 𝑞 ଵ ואנרגיה קינטית 𝐸 המתפזר ע"י הכוח החשמלי מחלקיק כבד בעל מטען 𝑞 ଶ ) פיזור רתרפורד (, ניתן להראות על ידי חישוב )אותו לא נציג כאן( כי הקשר בין פרמטר הפגיעה לזווית הפיזור במקרה הקלאסי הינו : [3] 𝑏 ோ௨௧ = భ మ ଼ గ ఌ బ ா cot ఏ ଶ ( 3 4 ) ו על ידי גזירה לפי 𝜃 והצבה ב משוואה ) 3.2 ( נקבל: 𝐷 ( 𝜃 ) ோ௨௧ = 𝑞 ଵ 𝑞 ଶ 16 𝜋 𝜀 𝐸𝑠𝑖 𝑛 ଶ ( 𝜃 2 ) ଶ ( 3 5 ) במקרה של רתרפורד, נראה בהמשך כי חתך הפעולה הכולל לפיזור מתבדר וגם נסביר מדוע. 6 3.1.2 פיזור ק וואנטי [1] בתורת הפיזור הקוואנטי נדמיין גל מישורי סטציונרי הנע בכיוון מסויים )נניח 𝑧 לשם נוחות(: 𝜓 ( 𝑧 ) = 𝐴𝑒 ௭ כאשר 𝒌 הוא מספר הגל המקושר לאנרגיה באופן הבא: 𝑘 ≡ √ 2 𝑚𝐸 ℏ ( 3 6 ) כאשר: 𝑚 – מסת החלקיק. ℏ – קבוע פלאנק המצומצם: ℏ = 1.0545718 × 10 ି ଷସ 𝐽 ∙ 𝑠𝑒𝑐 נניח שהגל פוגש פוטנציאל מפזר 𝑉 ( 𝒓 ) . הגל המפוזר יהיה גל כדורי היוצא ממרכז הפיזור. אם כן, נרצה שעבור 𝑟 גדול מאוד הפתרון הכללי של משוואת שרדינגר רחוק ממרכז הפיזור, יכיל את הגל הנכנס וגם איבר המכיל את הגל הכדורי המפוזר , כפי שנראה ב איור 3.1.2.1 לכן עבור r גדול נחפש פתרון למשוואת שרדינגר מהצורה: 𝜓 ( 𝑟 , 𝜃 , 𝜙 ) ≈ 𝐴 ቊ 𝑒 ௭ + 𝑓 ( 𝜃 , 𝜙 ) 𝑒 𝑟 ቋ ( 3 7 ) כאשר 𝐴 היא משרעת הגל. הגל הכדורי מוכפל בפקטור של ଵ כיוון ש - | 𝜓 | ଶ צריך ללכת כמו ଵ మ כדי לשמר הסתברות. מכיוון שהאיבר הראשון בסוגריים ב משוואה ) 3.7 ( הוא חסר ממדים, נשים לב כי ל - 𝑓 יש ממדים של אורך. איור 3.1.2.1 : פיזור גלים; גל נכנס והגל הכדורי המפוזר ע"י הפוטנציאל. בבעיית הפיזור הקוואנטי, נרצה לחשב את אמפליטודת הפיזור 𝒇 ( 𝜽 , 𝝓 ) ; היא האינדיקציה להסתברות לפיזור בזווית פולרית 𝜽 וזווית אזימוטלית 𝝓 כפי שנראה מ איור 3.1.2.2 , ההסתברות שהחלקיק הנע במהירות 𝑣 יעבור דרך חתך רוחב דיפרנציאלי 𝑑𝜎 בזמן 𝑑𝑡 היא ) מ משוואה ) 3.7 ( :( 𝑑𝑃 = | 𝜓 | ଶ 𝑑𝑉 = | 𝐴 | ଶ ( 𝑣 ∙ 𝑑𝑡 ) 𝑑𝜎 איור 3.1.2.2 : הנפח 𝑑𝑉 של אלומה הנעה דרך חתך רוחב 𝑑𝜎 בזמן 𝑑𝑡 7 אך זה שווה בדיוק להסתברות שהחלקיק יתפזר לאלמנט הזווית המרחבית המתאימה 𝑑 Ω מ משוואה ) 3.7 ( נקבל אפוא: 𝑑𝑃 = | 𝜓 ௦௧௧ௗ | ଶ 𝑑𝑉 = | | మ ଶ | 𝑓 | ଶ ( 𝑣 ∙ 𝑑𝑡 ) 𝑟 ଶ 𝑑 Ω מההשוואה נקבל 𝑑𝜎 = | 𝑓 | ଶ 𝑑 Ω ולכן: 𝐷 ( 𝜃 , 𝜙 ) = ௗఙ ௗ ஐ = | 𝑓 ( 𝜃 , 𝜙 ) | ଶ ( 3 8 ) כלומר, חתך הפעולה הדיפרנציאלי לפיזור שווה ל ריבוע ה ערך המוחלט של אמפליטודת הפיזור. אזי, מ משוואה ) 3.3 ( , חתך הפעולה הכולל יהיה: 𝜎 = ∫ | 𝑓 ( 𝜃 , 𝜙 ) | ଶ 𝑑 Ω ( 3 9 ) 3.1.3 פוטנציאל Yukawa הכוח הגרעיני החזק מורגש במרחקים קטנים מאוד ואילו זניח במרחקים ארוכים יותר. לכן )ומסיבות תאורטיות יותר מתקדמות(, הפיסיקאי הידקי יוקאווה הציע לתאר את הפוטנציאל של הכוח החזק כמכפלה של איבר ההולך כמו אחד חלקי המרחק באקספוננט דועך של המרחק כך שהפוטנציאל מתבדר חזק מאוד במרחקים קט נים מאוד ודועך ממש במרחקים ארוכים יותר. 𝑉 ( 𝑟 ) = 𝛽 ∙ ష ഋೝ ( 3 10 ) לפי יוקאווה, במקרה של הכוח החזק, הפאיון הוא נושא הכוח ולכן מתברר כי [3] : 𝜇 ≅ 𝑚 గ ∙ 𝑐 ℏ ( 3 11 ) כאשר 𝑚 గ היא בקירוב מסת הפאיון. ואילו עבור 𝛽 [3] , 𝛽 = − 𝛼 ௦ ℏ 𝑐 ( 3 12 ) כאשר 𝛼 ௦ נקרא קבוע הצימוד והוא גודל חיובי חסר יחידות נראה כי פוטנציאל יוקאווה הוא שלילי, כיאה לכוח גרעיני מושך )נזכור כי הכוחות הגרעיניים למשל, משאירים יחדיו את הפרוטונים בגרעין(. מכיוון שפוטנציאל יוקאווה הוא קירוב לפוטנציאל החזק, בתורת השדות הקוואנטיים מתברר מתוצאות ניס יוניות כי קבוע הצימוד הוא בערך 15 ] 3 [ אנו עובדים עם משוואת גלים קוואנטית ולכן קבוע הצימוד במקרה הזה יהיה אחר ונמצא אותו מהתאמה לתוצאות הניסיוניות. נשים לב כי ע"י הצבה של 𝛽 = భ ∙ మ ସగఌ బ ו - 𝜇 = 0 בפוטנציאל Yukawa נקבל את פוטנציאל קולון 3.1.4 משוואת הלמהולץ משוואת הלמהולץ היא משוואה דיפרנציאלית חלקית בעלת שימושים בתחום הגלים. המשוואה קרויה על שם הפיזיקאי הגרמני הרמן פון ה למהול ץ וצורתה: ∇ ଶ 𝑢 + 𝑘 ଶ 𝑢 = − 𝑓 ( 3 13 ) 8 3.1.5 צימוד מינימלי [6] נראה כי הלגרנג'יאן של חלקיק לא יחסותי בעל מטען 𝑞 ומסה m בשדה א"מ הוא: ℒ ( 𝒓 , 𝒓 ̇ , 𝑡 ) = 1 2 𝑚 𝒓 ̇ ଶ − 𝑞𝑉 ( 𝒓 , 𝑡 ) + 𝑞 𝒓 ̇ ∙ 𝑨 ( 𝒓 , 𝑡 ) ( 3 14 ) כאשר 𝑉 הוא הפוטנציאל החשמלי ואילו 𝐴 הוא הפוטנציאל ה ו קטורי האלקטרומגנטי. משוואות אוילר - לגרנג': 𝑑 𝑑𝑡 ൬ 𝜕ℒ 𝜕 𝑟 𝑖 ̇ ൰ = 𝜕ℒ 𝜕𝑟 מגזירה של הלגרנג'יאן לפי הקואורדינטה 𝑟 )כך נסמן את רכיבי 𝑟 ,( נקבל לפי כלל השרשרת: 𝜕ℒ 𝜕𝑟 = −𝑞 𝜕𝑉 (𝒓 , 𝑡 ) 𝜕𝑟 + 𝑞 𝑟 ̇ 𝜕𝐴 (𝒓, 𝑡) 𝜕𝑟 ଷ ୀଵ מגזירה של הלגרנג'יאן לפי הקואורדינטה 𝑟 ప ̇ , נקבל את התנע הקנוני : 𝜕 ℒ 𝜕 𝑟 𝑖 ̇ = 𝑝 𝑖 = 𝑚 𝑟 𝑖 ̇ + 𝑞 𝐴 𝑖 ( 𝒓 , 𝑡 ) ( 3 15 ) נגזור את משוואה ) 3.15 ( לפי הזמן ונקבל לפי כלל השרשרת: 𝑑 𝑑𝑡 ൬ 𝜕ℒ 𝜕 𝑟 𝑖 ̇ ൰ = 𝑚 𝑟 𝑖 ̈ + 𝑞 ൬ 𝑟 ̇ 𝜕𝐴 (𝒓, 𝑡) 𝜕𝑟 ൰ + 𝜕 𝐴 (𝒓, 𝑡) 𝜕𝑡 3 𝑘 =1 כלומר: 𝑚 𝑟 ప ̈ + 𝑞 ൬ 𝑟 𝑘 ̇ 𝜕𝐴 𝑖 (𝒓, 𝑡) 𝜕𝑟 𝑘 ൰ + 𝜕 𝐴 𝑖 (𝒓, 𝑡) 𝜕𝑡 ଷ ୀଵ ൩ = 𝑞 𝜕𝑉 (𝒓 , 𝑡 ) 𝜕𝑟 𝑖 + 𝑞 𝑟 𝑘 ̇ 𝜕𝐴 𝑘 (𝒓, 𝑡) 𝜕𝑟 𝑖 3 𝑘=1 𝑚 𝑟 ప ̈ = 𝑞 ቈ − 𝜕𝑉 ( 𝒓 , 𝑡 ) 𝜕𝑟 𝑖 − 𝜕 𝐴 𝑖 ( 𝒓, 𝑡 ) 𝜕𝑡 + 𝑞 ∙ 𝑟 𝑘 ̇ 𝜕𝐴 𝑘 (𝒓, 𝑡) 𝜕𝑟 𝑖 − 𝜕𝐴 𝑖 (𝒓, 𝑡) 𝜕𝑟 𝑘 ൨ ଷ ୀଵ וכיוון ש 𝑬 ( 𝒓, 𝑡 ) = −∇𝑉 ( 𝒓, 𝑡 ) − 𝜕 𝑨 (𝒓 , 𝑡 ) 𝜕𝑡 אזי נקבל את כוח לורנץ: 𝑭 = 𝑞𝑬 ( 𝒓, 𝑡 ) + 𝑞 ( 𝒓 ̇ × 𝑩 ) כלומר משוואות התנועה אכן מתארות את ה כוח הפועל על חלקיק בשדה א"מ ולכן הלגרנג'יאן מתאים. 9 באלקטרודינמיקה, הפוטנציאל הוקטורי 𝐴 והפוטנציאל החשמלי 𝑉 לא נקבעים באופן יחיד. ישנו חופש כיול המתבצע על ידי טרנספורמצי ו ת הכיו ל ] 1 [ : 𝑉 ᇱ ( 𝒓 , 𝑡 ) = 𝑉 ( 𝒓 , 𝑡 ) − 𝜕 Λ ( 𝐫 , t ) 𝜕𝑡 , 𝑨 ′ ( 𝒓 , 𝑡 ) = 𝑨 ( 𝒓 , 𝑡 ) + ∇ Λ ( 𝐫 , t ) ( 3 16 ) Λ היא פונקציה סקלרית של המיקום והזמן, כך שהטרנספורמציה אינה משנה את השדות וכמו כן גם אינה משנה את משוואות התנועה. נראה כי טרנספורמציית הכיול אינה משנה את השדות: 𝑬 ᇱ = −∇ 𝑉 ᇱ ( 𝒓 , 𝑡 ) − 𝜕 𝑨 ′ ( 𝒓 , 𝑡 ) 𝜕𝑡 = −∇ ቈ 𝑉 ( 𝒓 , 𝑡 ) − 𝜕 Λ ( 𝐫 , t ) 𝜕𝑡 − 𝜕 𝜕𝑡 ൫ 𝑨 ( 𝒓 , 𝑡 ) + ∇ Λ ( 𝐫 , t ) ൯ = −∇ 𝑉 ( 𝒓 , 𝑡 ) − 𝜕 𝑨 ( 𝒓 , 𝑡 ) 𝜕𝑡 + ∇ ቆ 𝜕 Λ ( 𝐫 , t ) 𝜕𝑡 ቇ − 𝜕 𝜕𝑡 ൫ ∇ Λ ( 𝐫 , t ) ൯ = 𝑬 + 𝜕 𝜕𝑡 ൫ ∇ Λ ( 𝐫 , t ) ൯ − 𝜕 𝜕𝑡 ൫ ∇ Λ ( 𝐫 , t ) ൯ = 𝑬 ∎ 𝑩 ᇱ = ∇ × 𝑨 ′ ( 𝒓 , 𝑡 ) = ∇ × ൫ 𝑨 ( 𝒓 , 𝑡 ) + ∇ Λ ( 𝐫 , t ) ൯ = 𝑩 + ∇ × ൫ ∇ Λ ( 𝐫 , t ) ൯ = 𝑩 ∎ כאשר האיבר השני במעבר הלפני האחרון התאפס מכיוון שרוטור של גרדיאנט של פונקציה סקלרית הוא אפס. נראה כי טרנספורמציית הכיול אינה משנה את משואות התנועה. הלגרנג'יאן החדש תחת טרנספורמציית הכיול יהיה: ℒ ᇱ ( 𝒓 , 𝒓 ̇ , 𝑡 ) = 1 2 𝑚 𝒓 ̇ ଶ − 𝑞 𝑉 ᇱ ( 𝒓 , 𝑡 ) + 𝑞 𝒓 ̇ ∙ 𝑨 ᇱ ( 𝒓 , 𝑡 ) = 1 2 𝑚 𝒓 ̇ ଶ − 𝑞 ቈ 𝑉 ( 𝒓 , 𝑡 ) − 𝜕 Λ ( 𝐫 , t ) 𝜕𝑡 + 𝑞 𝒓 ̇ ∙ [ 𝑨 ( 𝒓 , 𝑡 ) + ∇ Λ ( 𝐫 , t ) ] = 1 2 𝑚 𝒓 ̇ ଶ − 𝑞𝑉 ( 𝒓 , 𝑡 ) + 𝑞 𝒓 ̇ ∙ 𝑨 ( 𝒓 , 𝑡 ) + 𝑞 ቈ 𝜕 Λ ( 𝐫 , t ) 𝜕𝑡 + 𝒓 ̇ ∙ ∇ Λ ( 𝐫 , t ) = ℒ ( 𝒓 , 𝒓 ̇ , 𝑡 ) + 𝑑 𝑑𝑡 ൫ 𝑞 ∙ Λ ( 𝐫 , t ) ൯ כאשר במעבר האחרון יש לנו נגזרת של מכפלה. ואם נסמן 𝑀 ( 𝒓 , 𝑡 ) = 𝑞 ∙ Λ ( 𝐫 , t ) , אזי סך הכל: ℒ ᇱ ( 𝒓 , 𝒓 ̇ , 𝑡 ) = ℒ ( 𝒓 , 𝒓 ̇ , 𝑡 ) + 𝑑 𝑑𝑡 𝑀 ( 𝒓 , 𝑡 ) וכאמור ידוע כי הוספה של נגזרת שלמה לפי הזמן של פונקציה סקלרית ללגרנגי'אן אינה משנה את משוואות התנועה. ∎ המכפלה הסקלרית של 4 - וקטור המהירות ב - 4 וקטור הפוטנציאל הא"מ היא אינווריאנטית תחת טרנספורמציית הכיול ולכן הוכחה זו תקפה גם במקרה היחסותי. 10 עכשיו, לגבי ההמילטוניאן : ℋ ( 𝒓, 𝒑, 𝑡 ) = 𝑝 ∙ 𝑟 ప ̇ ( 𝒓 , 𝒑 , 𝑡 ) − ℒ ( 𝒓 , 𝒑 , 𝑡 ) נחלץ את רכיבי המהירות 𝑟 ప ̇ מ משוואה ) 3.15 ( : 𝑟 ప ̇ = 1 𝑚 ( 𝑝 − 𝑞 𝐴 (𝒓 , 𝑡 ) ) או: 𝒓 ̇ = 1 𝑚 ( 𝒑 − 𝑞 𝑨 ( 𝒓 , 𝑡 ) ) ( 3 17 ) עכשיו נרשום את ההמילטוניאן: ℋ ( 𝒓, 𝒑, 𝑡 ) = 𝑝 𝑚 ( 𝑝 − 𝑞 𝐴 (𝒓 , 𝑡 ) ) ଷ ୀଵ − 1 2𝑚 ൫ 𝒑 − 𝑞𝑨 ( 𝒓 , 𝑡 ) ൯ ଶ − 𝑞𝑉 ( 𝒓 , 𝑡 ) + 𝑞 𝑚 ൫ 𝒑 − 𝑞𝑨 ( 𝒓 , 𝑡 ) ൯ ∙ 𝑨 ( 𝒓 , 𝑡 ) ൨ = ቆ 𝑝 𝑚 ( 𝑝 − 𝑞 𝐴 ) ቇ ଷ ୀଵ − ൬ 1 2𝑚 ( 𝑝 − 𝑞 𝐴 ) ଶ ൰ ଷ ୀଵ − ቀ 𝑞 𝑚 ( 𝑝 − 𝑞 𝐴 ) 𝐴 ቁ ଷ ୀଵ + 𝑞𝑉 נאחד את הסכומים: ൬ 𝑝 𝑚 ( 𝑝 − 𝑞 𝐴 ) − 1 2𝑚 ( 𝑝 − 𝑞 𝐴 ) ଶ − 𝑞 𝑚 ( 𝑝 − 𝑞 𝐴 ) 𝐴 ൰ ଷ ୀଵ = 1 𝑚 ቆ 𝑝 ଶ − 𝑞 𝐴 𝑝 − 𝑝 ଶ 2 + 𝑞 𝐴 𝑝 − 𝑞 ଶ 𝐴 ଶ 2 − 𝑞 𝐴 𝑝 + 𝑞 ଶ 𝐴 ଶ ቇ = 1 2𝑚 ( 𝑝 − 𝑞 𝐴 ) ଶ ଷ ୀଵ ଷ ୀଵ כלומר סה"כ: ℋ ( 𝒓, 𝒑, 𝑡 ) = 1 2𝑚 ൫ 𝑝 − 𝑞 𝐴 ( 𝒓 , 𝑡 ) ൯ ଶ ଷ ୀଵ + 𝑞 𝑉 ( 𝒓 , 𝑡 ) או: ℋ ( 𝒓 , 𝒑 , 𝑡 ) = 1 2 𝑚 ൫ 𝒑 − 𝑞 𝑨 ( 𝒓 , 𝑡 ) ൯ ଶ + 𝑞 𝑉 ( 𝒓 , 𝑡 ) ( 3 18 ) כאשר ראינו כי הקשר בין התנע הקנוני למהירות: 𝒑 = 𝑚 𝒓 ̇ + 𝑞 𝑨 ( 3 19 ) אינו אינווריאנטי תחת טרנספורמציות הכיול. לעומת זאת, התנע הקינטי : 𝑷 = 𝑚 𝒓 ̇ = 𝒑 − 𝑞 𝑨 ( 3 20 ) אינווריאנטי תחת טרנספורמציות הכיול. 11 3.1.6 משוואת שרדינגר לתנועת חלקיק בשדה א"מ אם כן, במקרה הקוואנטי בו 𝒑 → − 𝑖 ℏ∇ , משוואת שרדינגר המתאימה תהיה ] 1 [ : 𝑖 ℏ 𝜕 Ψ 𝜕𝑡 = 1 2 𝑚 ( − 𝑖 ℏ ∇ − q 𝐀 ) ଶ + 𝑞𝑉 ൨ Ψ ( 3 21 ) תחת טרנספורמציות הכיול, משוואת שרדינגר נשארת גם היא אינווריאנטית )או יותר נכון קווריאנטית( עבור פונקציית הגל Ψ′ , כאשר Ψ′ מוזזת בהפרש פאזה מ - Ψ כדלקמן: Ψ ᇱ = Ψ e ஃ ( 𝐫 , ୲ ) ℏ ( 3 22 ) כדי להוכיח זאת, נזכור כי מה שיש בסוגריים העגולים של משוואה ) 3.21 ( הוא התנע הקינטי, שכאמור ראינו כי הוא אינווריאנטי תחת טרנספורמציות הכיול. כלומר, מספיק להוכיח כי: 𝑖 ℏ 𝜕 Ψ′ 𝜕𝑡 = 1 2 𝑚 ( − 𝑖 ℏ∇ − q 𝐀 ) ଶ + 𝑞𝑉 ′ ൨ Ψ′ אזי: 𝑖 ℏ 𝜕 Ψ 𝜕𝑡 𝑒 ஃ ℏ + Ψ 𝑖𝑞 ℏ 𝜕 Λ 𝜕𝑡 𝑒 ℏ ൨ = 1 2 𝑚 ( − 𝑖 ℏ∇ − q 𝐀 ) ଶ Ψ 𝑒 ஃ ℏ + 𝑞𝑉 Ψ 𝑒 ஃ ℏ − 𝑞 𝜕 Λ 𝜕𝑡 Ψ 𝑒 ஃ ℏ 𝑖 ℏ 𝜕 Ψ 𝜕𝑡 − 𝑞 𝜕 Λ 𝜕𝑡 Ψ = 1 2 𝑚 ( − 𝑖 ℏ∇ − q 𝐀 ) ଶ Ψ + 𝑞𝑉 Ψ − 𝑞 𝜕 Λ 𝜕𝑡 Ψ 𝑖 ℏ 𝜕 Ψ 𝜕𝑡 = 1 2 𝑚 ( − 𝑖 ℏ∇ − q 𝐀 ) ଶ + 𝑞𝑉 ൨ Ψ ∎ המסקנה מכך היא שאת הצימוד האלקטרומגנטי במשוואת שרדינגר, ניתן לקבל ישירות מן הדרישה של סימטריה של משוואת שרדינגר תחת טרנספורמציית הכיול - משוואה ) 3.22 ( יחד עם משוואה ) 3.16 ( 12 7 3.1. משוואת קליין - גורדון ] 5 [ נתחיל ממשוואת האנרגיה היחסותית: 𝐸 ଶ − 𝒑 ଶ 𝑐 ଶ = 𝑚 ଶ 𝑐 ସ ( 3 23 ) ואם נזכור כי 𝑝 ఓ = ( 𝑝 , 𝑝 ଵ , 𝑝 ଶ , 𝑝 ଷ ) = ቀ ா , 𝒑 ቁ ו - 𝑝 ఓ = ( 𝑝 , 𝑝 ଵ , 𝑝 ଶ , 𝑝 ଷ ) = ( ா , − 𝒑 ) , אזי משוואה ) 3.23 ( שקולה למשוואה: 𝑝 ఓ 𝑝 ఓ − 𝑚 ଶ 𝑐 ଶ = 0 ( 3 24 ) אופרטורי התנע הקוונטי הם: 𝑝 ఓ → 𝑖 ℏ 𝜕 ఓ , 𝑝 ఓ → 𝑖 ℏ 𝜕 ఓ אם ניקח בחשבון פוטנציאל אלקטרומגנטי 𝐴 ఓ , אז י, כפי שראינו, ישנה תוספת לתנע: 𝑝 ఓ → 𝑖 ℏ 𝜕 ఓ − 𝑞𝐴 ఓ , 𝑝 ఓ → 𝑖 ℏ 𝜕 ఓ − 𝑞𝐴 ఓ ע"י הצבת אופרטורי התנע עם תוספת הפוטנציאל האלקטרומגנטי ב משוואה ) 3.24 ,( נקבל במקרה הכללי את משוואת קליין גורדון עם פוטנציאל וקטורי : ( 𝑖 ℏ 𝜕 ఓ − 𝑞 𝐴 ఓ ) ൫ 𝑖 ℏ 𝜕 ఓ − 𝑞 𝐴 ఓ ൯ 𝜓 − 𝑚 ଶ 𝑐 ଶ 𝜓 = 0 ( 3 25 ) אופרטור ה גרדיאנט ה - 4 וקטורי הינו: 𝜕 ఓ = 𝜕 𝜕𝑥 ఓ = ൬ 𝜕 𝜕𝑥 , 𝜕 𝜕𝑥 ଵ , 𝜕 𝜕𝑥 ଶ , 𝜕 𝜕𝑥 ଷ ൰ = ( 1 𝑐 𝜕 𝜕𝑡 , 𝛁 ) 𝜕 ఓ = ( 1 𝑐 𝜕 𝜕𝑡 , − 𝛁 ) ונניח כי קיימת במערכת אנרגיה פוטנציאלית 𝑉 ושדה וקטורי 𝑨 כך שישנו שדה מגנטי המקיים 𝑩 = 𝛁 × 𝑨 אזי במקרה זה, הפוטנציאל הוקטורי יהיה: 𝐴 ఓ = ቀ ଵ , 𝑨 ቁ , 𝐴 ఓ = ቀ ଵ , − 𝑨 ቁ נפתח את משוואה ) 3.25 ( ונציב: ( 𝑖 ℏ 𝜕 ఓ − 𝑞𝐴 ఓ ) ൫ 𝑖 ℏ 𝜕 ఓ − 𝑞𝐴 ఓ ൯ 𝜓 − 𝑚 ଶ 𝑐 ଶ 𝜓 = 0 −ℏ ଶ 𝜕 ఓ 𝜕 ఓ 𝜓 − 𝑖 ℏ 𝑞𝜕 ఓ 𝐴 ఓ 𝜓 − 𝑖 ℏ 𝑞𝐴 ఓ 𝜕 ఓ 𝜓 + 𝑞 ଶ 𝐴 ఓ 𝐴 ఓ 𝜓 − 𝑚 ଶ 𝑐 ଶ 𝜓 = 0 −ℏ ଶ ൬ 1 𝑐 𝜕 𝜕𝑡 , − 𝛁 ൰ ൬ 1 𝑐 𝜕 𝜕𝑡 , 𝛁 ൰ 𝜓 − 𝑖 ℏ 𝑞 ൬ 1 𝑐 𝜕 𝜕𝑡 , − 𝛁 ൰ ൬ 1 𝑐 𝑉 𝑞 , − 𝑨 ൰ 𝜓 − 𝑖 ℏ 𝑞 ൬ 1 𝑐 𝑉 𝑞 , 𝑨 ൰ ൬ 1 𝑐 𝜕 𝜕𝑡 , 𝛁 ൰ 𝜓 + 𝑞 ଶ ൬ 1 𝑐 𝑉 𝑞 , 𝑨 ൰ ൬ 1 𝑐 𝑉 𝑞 , − 𝑨 ൰ 𝜓 − 𝑚 ଶ 𝑐 ଶ 𝜓 = 0 − ℏ ଶ 𝑐 ଶ 𝜕 ଶ 𝜓 𝜕𝑡 ଶ + ℏ ଶ ∇ ଶ 𝜓 − 𝑖 ℏ 𝑞 1 𝑞𝑐 ଶ 𝜕 ( 𝑉𝜓 ) 𝜕𝑡 + 𝛁 ( 𝑨𝜓 ) + 1 𝑞𝑐 ଶ 𝑉 𝜕𝜓 𝜕𝑡 + 𝑨 ( 𝛁𝜓 ) ൨ + 𝑞 ଶ ቈ 𝑉 ଶ 𝑐 ଶ 𝑞 ଶ 𝜓 − 𝐴 ଶ 𝜓 − 𝑚 ଶ 𝑐 ଶ 𝜓 = 0 − ℏ ଶ 𝑐 ଶ 𝜕 ଶ 𝜓 𝜕𝑡 ଶ + ℏ ଶ ∇ ଶ 𝜓 − 𝑖 ℏ 𝑞 1 𝑞𝑐 ଶ ൬ 𝜕𝑉 𝜕𝑡 𝜓 + 𝑉 𝜕𝜓 𝜕𝑡 ൰ + 𝛁 ( 𝑨𝜓 ) + 1 𝑞𝑐 ଶ 𝑉 𝜕𝜓 𝜕𝑡 + 𝑨 ( 𝛁𝜓 ) ൨ + 𝑞 ଶ ቈ 𝑉 ଶ 𝑐 ଶ 𝑞 ଶ 𝜓 − 𝐴 ଶ 𝜓 − 𝑚 ଶ 𝑐 ଶ 𝜓 = 0 במקרה שלנו, נניח כי אין שדה מגנטי במערכת וכי הפוטנציאל אינו תלוי בזמן , כלומר 𝑨 = 0 ו - డ డ௧ = 0 . נקבל: − ℏ ଶ 𝑐 ଶ 𝜕 ଶ 𝜓 𝜕𝑡 ଶ + ℏ ଶ ∇ ଶ 𝜓 − 𝑖 ℏ 𝑐 ଶ 2 𝑉 𝜕 𝜓 𝜕𝑡 + 1 𝑐 ଶ 𝑉 ଶ 𝜓 − 𝑚 ଶ 𝑐 ଶ 𝜓 = 0 ∇ ଶ 𝜓 + 1 𝑐 ଶ ℏ ଶ ቈ −ℏ ଶ 𝜕 ଶ 𝜓 𝜕𝑡 ଶ − 2 𝑉𝑖 ℏ 𝜕𝜓 𝜕𝑡 + 𝑉 ଶ 𝜓 − 𝑚 ଶ 𝑐 ସ 𝜓 = 0 וכיוון שאופרטור האנרגיה מקיים 𝐸 → 𝑖 ℏ డ డ௧ , אזי: ∇ ଶ 𝜓 + 1 𝑐 ଶ ℏ ଶ [ 𝐸 ଶ 𝜓 − 2 𝑉𝐸𝜓 + 𝑉 ଶ 𝜓 − 𝑚 ଶ 𝑐 ସ 𝜓 ] = 0 ∇ ଶ 𝜓 + 1 𝑐 ଶ ℏ ଶ [ 𝐸 ଶ 𝜓 − 2 𝐸𝑉𝜓 + 𝑉 ଶ 𝜓 − 𝑚 ଶ 𝑐 ସ 𝜓 ] = 0 ∇ ଶ 𝜓 + 1 𝑐 ଶ ℏ ଶ [ ( 𝐸 − 𝑉 ) ଶ − 𝑚 ଶ 𝑐 ସ ] 𝜓 = 0 ( 3 26 ) זוהי משוואת קליין גורדון עם אנרגיה פוטנציאלית 𝑽 אשר כתובה מפורשות עם האנרגיה 𝐸 מכיוון שמשוואת קליין גורדון כתובה עם רכיב אחד של פונקציית הגל, המשוואה מתארת חלקיק קוונטי יחסותי חסר ספין. 13 3.2 רקע מתמטי 1 2 3. התמרת פורייה והתמרת פורייה ההפוכה ] 1 [ כל פונקציה 𝑓 ( 𝑥 ) בתחום סופי [ − 𝑎 , + 𝑎 ] ניתן לרשום כטור פורייה של סינוסים וקוסינוסים: 𝑓 ( 𝑥 ) = ቂ 𝑎 sin ቀ 𝑛𝜋𝑥 𝑎 ቁ + 𝑏 cos ቀ 𝑛𝜋𝑥 𝑎 ቁቃ ஶ ୀ משימוש בזהויות אוילר נקבל: 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑏 + 𝑎 2 𝑖 ஶ ୀଵ ൬ 𝑒 గ௫ − 𝑒 ି గ௫ ൰ + 𝑏 2 ஶ ୀଵ ൬ 𝑒 గ௫ + 𝑒 ି గ௫ ൰ = 𝑏 + ( 𝑎 2 𝑖 ஶ ୀଵ + 𝑏 2 ) 𝑒 గ௫ + (− 𝑎 2 𝑖 ஶ ୀଵ + 𝑏 2 ) 𝑒 ି గ௫ נגדיר: 𝑐 ≡ 𝑏 ; 𝑐 ≡ ଵ ଶ ( − 𝑖𝑎 + 𝑏 ) עבור 𝑛 = 1,2,3, .... ; 𝑐 ≡ ଵ ଶ ( − 𝑖𝑎 ି + 𝑏 ି ) עבור 𝑛 = −1, −2, −3, ... .. אזי נוכל לבטא את 𝑓 ( 𝑥 ) כדלקמן: 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑐 𝑒 𝑖𝑛𝜋𝑥 𝑎 ା ஶ ି ஶ ( 3 27 ) נכפיל את משוואה ) 3.27 ( משני צדדיה ב - 𝑒 ି ഏೣ ೌ ונבצע אינטגרציה בתחום [ − 𝑎 , + 𝑎 ] : න 𝑓 ( 𝑥 ) ି 𝑒 ି గ௫ 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑛 න 𝑒 ( ି ) గ௫ 𝑑𝑥 ି + ∞ − ∞ ( 3 28 ) נראה כי עבור 𝑛 ≠ 𝑚 , האינטגרל בצד ימין: න 𝑒 ( ି ) గ௫ 𝑑𝑥 ି = 𝑒 ( ି ) గ௫ 𝑖 ( 𝑛 − 𝑚 ) 𝜋 𝑎 ቮ ି = 0 ואילו עבור 𝑛 = 𝑚 , נקבל: න 𝑒 ( ି ) గ௫ 𝑑𝑥 ି = 2 𝑎 ואז מה שנותר מ משוואה ) 3.28 ( )אחרי איפוס כל אברי הסכום מלבד 𝑛 = 𝑚 ( : 𝑐 = 1 2 𝑎 න 𝑒 ି గ௫ 𝑑𝑥 ି 14 נגדיר משתנים חדשים כדלקמן: 𝑠 ≡ 𝑛𝜋 𝑎 , 𝐹 ( 𝑠 ) ≡ ඨ 2 𝜋 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 בנוסף, נגדיר את Δ𝑠 ≡ 𝑠 ( 𝑛 + 1 ) − 𝑠 ( 𝑛 ) = గ להיות הגידול ב - 𝑠 כאשר 𝑛 → 𝑛 + 1 נציב הכל ב משוואה ) 3.27 ( ונקבל: 𝑓 ( 𝑥 ) = ට 𝜋 2 1 𝑎 ା ஶ ି ஶ 𝐹 ( 𝑠 ) 𝑒 𝑖𝑠𝑥 = 1 √ 2 𝜋 𝐹 ( 𝑠 ) 𝑒 𝑖𝑠𝑥 Δ 𝑠 ( 3 29 ) ובנוסף, 𝐹 ( 𝑠 ) = ඨ 2 𝜋 𝑎 1 2𝑎 න 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑒 ି ௦௫ 𝑑𝑥 = 1 √ 2𝜋 න 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑒 ି 𝑑𝑥 ି ି לבסוף, ניקח 𝑎 → ∞ ובמקרה הזה Δ𝑠 → 𝑑𝑠 , כלומר 𝑠 הופך למשתנה רציף. וב סך הכל עם משוואה ) 3.29 ( נקבל: 𝑓 ( 𝑥 ) = 1 √ 2 𝜋 න 𝐹 ( 𝑠 ) 𝑒 𝑖𝑠𝑥 𝑑𝑠 ା ஶ ି ஶ ; 𝐹 ( 𝑠 ) = 1 √ 2 𝜋 න 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑒 − 𝑖𝑠𝑥 𝑑𝑥 ା ஶ ି ஶ ( 3 30 ) ובמקרה התלת מימדי, 𝑓 ( 𝒓 ) = 1 ( 2 𝜋 ) ଷ ଶ න 𝐹 ( 𝒔 ) 𝑒 𝒔 ∙ 𝒓 𝑑 ଷ 𝒔 ; 𝐹 ( 𝒔 ) = 1 ( 2 𝜋 ) ଷ ଶ න 𝑓 ( 𝒓 ) 𝑒 ି 𝒔 ∙ 𝒓 𝑑 ଷ 𝒓 ( 3 31 ) 2 2 3. פונקציית דלתא ] 4 [ נגדיר את פונקציית הדלתא של דיראק בשלושה ממדים ואת אופן השימוש בה : 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) = 0 , אם 𝒓 ≠ (0,0,0) 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) ⟶ ∞ , אם 𝒓 = (0,0,0) ∫∫∫ 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) 𝑑 ଷ 𝒓 = 1 , אם הנפח 𝑉 מכיל את הראשית ו - 0 אם לא. בפרט, אם הנפח 𝑉 מכיל את 𝒓′ אזי מתקיים: ම 𝑓 ( 𝒓 ) 𝛿 ଷ ( 𝒓 − 𝒓 ′ ) 𝑑 ଷ 𝒓 = 𝑓 ( 𝒓 ′ ) ( 3 32 ) ו - 0 אם לא. 3 2 3. התמרת פורייה של פונקציית דלתא [1] נציב ב משוואה ) 3.31 ( 𝑓 ( 𝒓 ) = 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) ונקבל בעזרת פונקציית דלתא : 𝐹 ( 𝒔 ) = 1 ( 2 𝜋 ) ଷ ଶ න 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) 𝑒 ି 𝒔 ∙ 𝒓 𝑑 ଷ 𝒓 = 1 ( 2 𝜋 ) ଷ ଶ 𝑒 ି 𝒔 ∙ 𝟎 = 1 ( 2 𝜋 ) ଷ ଶ ובנוסף, 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) = 1 ( 2 𝜋 ) ଷ ଶ න 𝐹 ( 𝒔 ) 𝑒 𝒔 ∙ 𝒓 𝑑 ଷ 𝒔 = 1 ( 2 𝜋 ) ଷ ଶ න 1 ( 2 𝜋 ) ଷ ଶ 𝑒 𝒔 ∙ 𝒓 𝑑 ଷ 𝒔 כלומר , 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) = 1 ( 2 𝜋 ) ଷ න 𝑒 𝒔 ∙ 𝒓 𝑑 ଷ 𝒔 ( 3 33 ) 15 3.2.4 פונקציית גרין ] 4 [ כדי להבין בצורה הטובה ביותר את פונקציית גרין ניקח לרגע את הדיון לאלקטרוסטטיקה המוכרת לנו היטב. בנוכחות מטענים חופשיים, משוואת פואסון תקבל את הצורה: ∇ ଶ 𝑉 ( 𝒓 ) = − 𝜌 ( 𝒓 ) 𝜀 ( 3 34 ) כאשר: 𝑉 ( 𝒓 ) – הפוטנציאל החשמלי 𝜌 ( 𝒓 ) – צפיפות המטען החשמלי. 𝜀 – המקדם הדיאלקטרי של הריק: 𝜀 ≅ 8.541 × 10 −12 𝐶 2 𝑚 2 ∙𝑁 עבור מטען נקודתי 𝑸 היושב בנקודה 𝒓 ᇱ , הפוטנציאל בנקודה 𝒓 יהיה פתרון של משוואת פואסון: 𝑉 ( 𝒓 ) = 𝑄 4𝜋𝜀 | 𝒓 − 𝒓 ᇱ | צפיפות המטען של מטען בודד כזה תהיה: 𝜌 ( 𝒓 ) = 𝑄𝛿 ଷ ( 𝒓 − 𝒓 ᇱ ) . אם כן, ממשוואת פואסון נקבל: ∇ ଶ ൬ 𝑄 4𝜋𝜀 | 𝒓 − 𝒓 ᇱ | ൰ = 𝑄 4𝜋𝜀 ∇ ଶ ൬ 1 | 𝒓 − 𝒓 ᇱ | ൰ = − 𝑄𝛿 3 ൫ 𝒓 − 𝒓 ′ ൯ 𝜀 כלומר, ∇ ଶ ቆ 1 ห 𝒓 − 𝒓 ′ ห ቇ = − 4 𝜋 𝛿 ଷ ( 𝒓 − 𝒓 ᇱ ) ⟺ ∇ ଶ ቆ 1 | 𝒓 | ቇ = − 4 𝜋 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) ( 3 35 ) ומכאן נמצא את פונקציית גרין 𝐺 ( 𝒓, 𝒓 ᇱ ) המתאימה לבעיה הספציפית הזו: ∇ ଶ 𝐺 ( 𝒓 , 𝒓 ᇱ ) = − 𝛿 3 ൫ 𝒓 − 𝒓 ′ ൯ ⇒ 𝐺 ( 𝒓 , 𝒓 ᇱ ) = 1 4 𝜋 | 𝒓 − 𝒓 ᇱ | נכפ י ל את 2 האגפים ב - 𝜌 ( 𝒓 ᇱ ) ונבצע אינטגרציה על מיקומם האפשרי של כל אלמנטי המטען: න 𝜌 ( 𝒓 ᇱ ) ∇ ଶ 𝐺 ( 𝒓 , 𝒓 ᇱ ) 𝑑 ଷ 𝒓 ᇱ = − න 𝜌 ( 𝒓 ᇱ ) 𝛿 3 ൫ 𝒓 − 𝒓 ′ ൯ 𝑑 ଷ 𝒓 ᇱ מכיוון שהלפלסיאן באגף שמאל הוא אופרטור לפי 𝒓 )ולא 𝒓 ᇱ ( אז י ניתן להוציא את הלפלסיאן מחוץ לאינטגרל. את האינטגרל באגף ימין, ניתן לפתור לפי כללי פונקציית דלתא . לבסוף, נכפול את 2 האגפים ב - ଵ 𝜀 0 אם כן, ∇ ଶ න 𝜌 ( 𝒓 ᇱ ) 𝜀 𝐺 ( 𝒓 , 𝒓 ᇱ ) 𝑑 ଷ 𝒓 ᇱ = − 𝜌 ( 𝒓 ᇱ ) 𝜀 אבל זוהי בדיוק משוואת פואסון ) משוואה ) 3.34 ( ( עם הפוטנציאל החשמלי 𝑉 ( 𝒓 ) הכתוב כאן בפירוש! ע"י הצבה של פונקציית גרין המתאימה, נקבל בדיוק את הפוטנציאל החשמלי בנוכחות צפיפות מטענים חופשיים המוכר לנו כל כך: 𝑉 ( 𝒓 ) = න 𝜌 ( 𝒓 ᇱ ) 𝜀 𝐺 ( 𝒓 , 𝒓 ᇱ ) 𝑑 ଷ 𝒓 ᇱ = න 1 4 𝜋𝜀 | 𝒓 − 𝒓 ᇱ | 𝜌 ( 𝒓 ᇱ ) 𝑑 ଷ 𝒓 ᇱ באותה השיטה נשתמש בהמשך כדי לפתור את משוואת הלמהולץ ) משוואה ) 3.13 ( ,( הדומה בצורתה למשוואת פואסון. 16 3.2.5 נוסחת האינטגרל של קושי תהא 𝑈 קבוצה פתוחה במישור המרוכב, המכילה תחום כלשהו 𝐷 אשר שפתו היא מסלול סגור 𝝏𝑫 . אזי לכל פונקציה 𝑓 : 𝑈 → ℂ הולומורפית בתוך התחום 𝑫 )מרוכבת וגזירה בתוך התחום( ה רציפה על השפה ולכל נקודה 𝒛 𝟎 הנמצאת בתוך התחום , מתקיים ර 𝑓 ( 𝑧 ) ( 𝑧 − 𝑧 ) ା ଵ 𝑑𝑧 డ = 2 𝜋𝑖 ∙ 𝑓 ( ) ( 𝑧 ) כאשר מגמת המסלול היא נגד כיוון השעון. במקרה ש - 𝒛 𝟎 אינה נמצאת בתוך התחום, ערך האינטגרל הוא אפס. 𝑓 ( ) ( 𝑧 ) היא הנגזרת ה - 𝑛 'ית של 𝑓 לפי 𝑧 ולכן בפרט, עבור 𝑛 = 0 )אין נגזרת(, נקבל: ර 𝑓 ( 𝑧 ) ( 𝑧 − 𝑧 ) 𝑑𝑧 డ = 2 𝜋𝑖 ∙ 𝑓 ( 𝑧 ) ( 3 36 ) 17 4 תהליכי פיזור 4.1 חישוב חתך הפעולה לפיזור עבור פוטנציאל Yukawa ופוטנציאל קולון במקרה הלא יחסותי )משוואת שרדינגר( 4.1.1 הצורה האינטגרלית של משוואת שרדינגר ] 1 [ נרצה לקשר בין פונקציית הגל שב משוואה ) 3.7 ( לבין פונקציית הגל בפיזור הקוואנטי. לשם כך נרצה למצוא את הצורה האינטגרלית של משוואת שרדינגר השימוש יובהר בהמשך. נתחיל עם משואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן: − ℏ 2 𝑚 ∇ ଶ 𝜓 + 𝑉𝜓 = 𝐸𝜓 ( 4 1 ) נגדיר משתנה 𝑄 כדלקמן: 𝑄 ≡ 2 𝑚 ℏ ଶ 𝑉𝜓 ( 4 2 ) אזי ע"י הצבת משוואה ) 3.6 ( , משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן תהפוך למשוואת הלמהולץ הלא הומוגנית ) משוואה ) 3.13 ( ( עם איבר 𝑄 שבעצמו תלוי ב - 𝜓 : ( ∇ ଶ + 𝑘 ଶ ) 𝜓 = 𝑄 ( 4 3 ) באופן דומה לפתרון משוואת פואסון באלקטרוסטטיקה, נניח שנוכל למצוא פונקציה 𝐺 ( 𝒓 ) שתפתור את משוואת הלמהולץ עם מקור מסוג פונקציית דלתא: ( ∇ ଶ + 𝑘 ଶ ) 𝐺 ( 𝒓 ) = 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) ( 4 4 ) כאשר העניין שקול למציאת פונקציה 𝐺 ( 𝒓 − 𝒓 ᇱ ) הפותרת את המשוואה: ( ∇ ଶ + 𝑘 ଶ ) 𝐺 ( 𝒓 − 𝒓 ᇱ ) = 𝛿 ଷ ( 𝒓 − 𝒓 ᇱ ) ( 4 5 ) ואז במקרה זה, 𝜓 ( 𝒓 ) שאנו מחפשים עבור משוואה ) 4.3 ( תהיה : 𝜓 ( 𝒓 ) = න 𝐺 ( 𝒓 − 𝒓 ᇱ ) 𝑄 ( 𝒓 ᇱ ) 𝑑 ଷ 𝒓 ᇱ ( 4 6 ) והסיבה לכך היא מכיוון שעבור פונקציית דלתא, נקבל: ( ∇ ଶ + 𝑘 ଶ ) 𝜓 ( 𝒓 ) = ( ∇ ଶ + 𝑘 ଶ ) න 𝐺 ( 𝒓 − 𝒓 ᇱ ) 𝑄 ( 𝒓 ᇱ ) 𝑑 ଷ 𝒓 ᇱ = න [ ( ∇ ଶ + 𝑘 ଶ ) 𝐺 ( 𝒓 − 𝒓 ᇱ ) ] 𝑄 ( 𝒓 ᇱ ) 𝑑 ଷ 𝒓 ᇱ = න 𝛿 ଷ ( 𝒓 − 𝒓 ᇱ ) 𝑄 ( 𝒓 ᇱ ) 𝑑 ଷ 𝒓 ᇱ = 𝑄 ( 𝒓 ) כנדרש. כדי למצוא פונקציה 𝐺 ( 𝒓 ) אשר פותרת את משוואה ) 4.4 ( , נמצא התמרת פורייה ל - 𝐺 ( 𝒓 ) ע ם התמרה הפוכה 𝑔 ( 𝒔 ) ובנוסף נשתמש בהתמרה של פונקציית דלתא כך שהמשוואה תהפוך בסופו של דבר ממשוואה דיפרנציאלית למשוואה אלגברית: 𝐺 ( 𝒓 ) = 1 ( 2 𝜋 ) ଷ ଶ න 𝑔 ( 𝒔 ) 𝑒 𝒔 ∙ 𝒓 𝑑 ଷ 𝒔 ( 4 7 ) ואז: ( ∇ ଶ + 𝑘 ଶ ) 𝐺 ( 𝒓 ) = ( ∇ ଶ + 𝑘 ଶ ) 1 ( 2 𝜋 ) ଷ ଶ න 𝑔 ( 𝒔 ) 𝑒 𝒔 ∙ 𝒓 𝑑 ଷ 𝒔 = 1 ( 2𝜋 ) ଷ ଶ න [( ∇ ଶ + 𝑘 ଶ ) 𝑒 𝒔∙𝒓 ] 𝑔 ( 𝒔 ) 𝑑 ଷ 𝒔 18 כמו כן, ∇ ଶ 𝑒 𝒔 ∙ 𝒓 = 𝑖 𝒔 ∙ 𝑖 𝒔 𝑒 𝒔 ∙ 𝒓 = − 𝑠 ଶ 𝑒 𝒔 ∙ 𝒓 ( 4 8 ) אזי אם נציב את משוואה ) 3.33 ( , משוואה ) 4.7 ( ו משוואה ) 4.8 ( בתוך משוואה ) 4.4 ( נקבל: 1 ( 2 𝜋 ) ଷ ଶ න ( − 𝑠 ଶ + 𝑘 ଶ ) 𝑒 𝒔 ∙ 𝒓 𝑔 ( 𝒔 ) 𝑑 ଷ 𝒔 = 1 ( 2 𝜋 ) ଷ න 𝑒 𝒔 ∙ 𝒓 𝑑 ଷ 𝒔 ואם נבחין בעובדה ש - ଵ ( ଶగ ) య = ଵ ( ଶగ ) య మ ∙ ଵ ( ଶగ ) య మ , מהשוואת שני האינטגרנדים נסיק כי ההתמרה ההפוכה במקרה זה היא: 𝑔 ( 𝒔 ) = 1 ( 2 𝜋 ) ଷ ଶ ( 𝑘 ଶ − 𝑠 ଶ ) ( 4 9 ) נציב את משוואה ) 4.9 ( חזרה ב משוואה ) 4.7 ( ונקבל: 𝐺 ( 𝒓 ) = 1 ( 2 𝜋 ) ଷ න 1 ( 𝑘 ଶ − 𝑠 ଶ ) 𝑒 𝒔 ∙ 𝒓 𝑑 ଷ 𝒔 ( 4 10 ) כדי לפתור את האינטגרל ב משוואה ) 4.10 ( , נעבור לקואורדינטו ת נוחות יותר; משתנה האינטגרציה הוא 𝒔 ואילו 𝒓 הוא קבוע. אם כן, נבחר קואורדינטות כדוריות ( 𝑠 , 𝜃 , 𝜙 ) עם ציר פולרי לאורך 𝒓 כמתואר ב איור 4.1.1.1 ולכן, 𝒔 ∙ 𝒓 = 𝑠𝑟 ∙ cos 𝜃 איור 4.1.1.1 : קואורדינטות כדוריות ( 𝑠 , 𝜃 , 𝜙 ) עם ציר פולרי לאורך 𝒓 אזי משוואה ) 4.10 ( תראה בצורתה המדויקת: 𝐺 ( 𝒓 ) = 1 ( 2 𝜋 ) ଷ ම 1 ( 𝑘 ଶ − 𝑠 ଶ ) 𝑒 ௦ ∙ ୡ୭ୱ ఏ 𝑠 ଶ sin 𝜃 𝑑𝜙𝑑𝜃𝑑𝑠 ( 4 11 ) כאשר: 𝜙 ∈ [ 0,2 𝜋 ] , 𝜃 ∈ [ 0, 𝜋 ] ו – 𝑠 ∈ [ 0, ∞ ) כיוון שאין תלות ב - 𝜙 , מהאינטגרל על הזווית האזימוטלית נקבל 2 𝜋 ואילו מהאינטגרל על הזווית הפולרית 𝜃 נקבל: න 𝑒 ௦ ∙ ୡ୭ୱ ఏ sin 𝜃 𝑑𝜃 గ = ( 𝑧 = cos 𝜃 ⇒ 𝑑𝑧 = − sin 𝜃 𝑑𝜃 ) = න 𝑒 ௦ ∙ ௭ 𝑑𝑧 = 2 sin ( 𝑠𝑟 ) 𝑠𝑟 ଵ ି ଵ כאשר במעבר האחרון השתמשנו בזהות אוילר עבור פונקציית הסינוס. אם כן, מ משוואה ) 4.11 ( נקבל סך הכל : 𝐺 ( 𝒓 ) = 1 ( 2 𝜋 ) ଶ 2 𝑟 න 𝑠 sin ( 𝑠𝑟 ) 𝑘 ଶ − 𝑠 ଶ 𝑑𝑠 = 1 4 𝜋 ଶ 𝑟 න 𝑠 sin ( 𝑠𝑟 ) 𝑘 ଶ − 𝑠 ଶ 𝑑𝑠 ஶ ି ஶ ஶ ( 4 12 ) כאשר את המעבר האחרון ביצענו בגלל הזוגיות של האינטגרנד. נחזור לכתיבה האקספוננציאלית sin ( 𝑠𝑟 ) = ೞೝ ି షೞೝ ଶ = − ଶ ( 𝑒 ௦ − 𝑒 ି ௦ ) . את המינוס נכניס למכנה של האינטגרנד ב משוואה ) 4.12 ( ונקבל: 𝐺 ( 𝒓 ) = 𝑖 8 𝜋 ଶ 𝑟 ቊ න 𝑠 ∙ 𝑒 ௦ ( 𝑠 − 𝑘 ) ( 𝑠 + 𝑘 ) 𝑑𝑠 ஶ ି ஶ − න 𝑠 ∙ 𝑒 ି ௦ ( 𝑠 − 𝑘 ) ( 𝑠 + 𝑘 ) 𝑑𝑠 ஶ ି ஶ ቋ = 𝐺 ( 𝒓 ) = 𝑖 8 𝜋 ଶ 𝑟 ( 𝐼 ଵ − 𝐼 ଶ ) ( 4 13 ) כאשר כל אינטגרל נוכל לפתור לפי נוסחת האינטגרל של קושי 19 נרצה אפוא לבחור את המסלול שלנו. נשים לב כי יש לנו נקודות סינגולריות ב - 𝑠 = ± 𝑘 בציר הממשי של 𝒔 נבחר את המסלול כך שכיוונו הכללי יהיה בכיוון החיובי של הציר ובנוסף, נקבע אותו כך שיעבור מעל הנקודה 𝒔 = − 𝒌 ומתחת ל נקודה 𝒔 = + 𝒌 כמתואר ב איור 4.1.1.2 : איור 4.1.1.2 : בחירת המסלול לאורך הציר הממשי. עבור שני האינטגרלים, המסלול הסגור הכולל שנבחר יהיה חצי מעגל , אך עבור כל אינטגרל ה מגמה תהיה שונה: אינטגרל 𝑰 𝟏 : הערך 𝑒 ௦ ישאף לאפס כאשר החלק המדומה של 𝒔 שואף ל - +∞ ) 𝑒 ∙ ∙ ஶ = 𝑒 ି ஶ → 0 ( ולכן בגלל האפסיות של האינטגרנד, תרומת הקשת של חצי המעגל תהיה אפסית אם כן, נבחר את המסלול כפי שמתואר ב איור 4.1.1.3 : איור 4.1.1.3 : המסלול הסגור עבור 𝐼 ଵ כאשר כעת הערכיים בציר הממשי הם בהתאמה ( −∞, +∞ ) אזי הפונקציה ב משוואה ) 3.36 ( היא 𝑓 ( 𝑧 ) = ௦ ೞೝ ௦ା )בהחלט רציפה על שפת המסלול והולומורפית בפנים(, 𝑧 = + 𝑘 בתוך התחום ואכן המסלול הוא נגד כיוון השעון. אם כן, ර ቈ 𝑠 𝑒 ௦ 𝑠 + 𝑘 1 𝑠 − 𝑘 𝑑𝑠 = න ቈ 𝑠 𝑒 ௦ 𝑠 + 𝑘 1 𝑠 − 𝑘 𝑑𝑠 + න ቈ 𝑠 𝑒 ௦ 𝑠 + 𝑘 1 𝑠 − 𝑘 𝑑𝑠 ା ஶ ି ஶ = න ቈ 𝑠 𝑒 ௦ 𝑠 + 𝑘 1 𝑠 − 𝑘 𝑑𝑠 ାஶ ି ஶ ולכן, מ משוואה ) 3.36 ( נקבל: 𝐼 ଵ = ර ቈ 𝑠 𝑒 ௦ 𝑠 + 𝑘 1 𝑠 − 𝑘 𝑑𝑠 = 2 𝜋𝑖 ቈ 𝑠 𝑒 ௦ 𝑠 + 𝑘 ቤ ௦ ୀ ା = 𝑖𝜋 𝑒 ( 4 14 ) אינטגרל 𝑰 𝟐 : הערך 𝑒 ି ௦ ישאף לאפס כאשר החלק המדומה של 𝒔 שואף ל - −∞ ) 𝑒 ି ∙ ∙ ( ି ஶ ) = 𝑒 ି ஶ → 0 ( ותרומת הקשת של המעגל תהיה אפסית כמו המקרה לעיל. אם כן, נבחר את המסלול כפי שמתואר ב איור 4.1.1.4 : איור 4.1.1.4 : המסלול הסגור עבור 𝐼 ଶ הפעם הפונקציה המתאימה היא 𝑓 ( 𝑧 ) = ௦ షೞೝ ௦ି ובמקרה הזה 𝑧 = − 𝑘 . יש לשים לב כי במקרה הזה, המגמה היא עם כיוון השעון ולכן צריך להוסיף מינוס. אם כן, מ אותם השיקולים שביצענו עבור 𝐼 ଵ , נקבל: 𝐼 ଶ = − ර ቈ 𝑠 𝑒 ି ௦ 𝑠 − 𝑘 1 𝑠 + 𝑘 𝑑𝑠 = − 2 𝜋𝑖 ቈ 𝑠 𝑒 ି ௦ 𝑠 − 𝑘 ቤ ௦ ୀ ି = − 𝑖𝜋 𝑒 ( 4 15 ) 20 לבסוף מ משוואה ) 4.13 ( נקבל את פונקציית גרין אותה חיפשנו עבור משוואה ) 4.4 ( : 𝐺 ( 𝒓 ) = 𝑖 8 𝜋 ଶ 𝑟 [ 𝑖𝜋 𝑒 − ( − 𝑖𝜋 𝑒 ) ] = − 𝑒 4 𝜋𝑟 ( 4 16 ) נוכיח ש - 𝐺 ( 𝒓 ) כנ"ל אכן פותרת את משוואה ) 4.4 ( : ∇ ଶ 𝐺 ( 𝒓 ) = − ଵ ସగ ∇ ଶ ( ೖೝ ) = − ଵ ସగ ∇ ∙ ቆ ∇ ቀ ೖೝ ቁ ቇ = − 1 4𝜋 ∇ ∇ ( 𝑒 ) ∙ 1 𝑟 + ∇ ൬ 1 𝑟 ൰ ∙ 𝑒 ൨ = − 1 4𝜋 ∇ ଶ ( 𝑒 ) ∙ 1 𝑟 + 2 ∙ ∇ ( 𝑒 ) ∙ ∇ ൬ 1 𝑟 ൰ + ∇ ଶ ൬ 1 𝑟 ൰ ∙ 𝑒 ൨ אבל, ∇ ൬ 1 𝑟 ൰ = − 1 𝑟 ଶ 𝒓 ො וגם, ∇ ( 𝑒 ) = 𝑖𝑘𝑒 𝒓 ො ⟹ ∇ ଶ (𝑒 ) = 𝑖𝑘 1 𝑟 ଶ 𝑑 𝑑𝑟 ( 𝑟 ଶ 𝑒 ) = 𝑖𝑘 𝑟 ଶ ( 2𝑟𝑒 + 𝑖𝑘𝑟 ଶ 𝑒 ) = 𝑖𝑘𝑒 ൬ 2 𝑟 + 𝑖𝑘 ൰ לכן, אם נציב את משוואה ) 3.35 ( נקבל: ∇ ଶ 𝐺 ( 𝒓 ) = − 1 4𝜋 ቈ 𝑖𝑘𝑒 𝑟 ൬ 2 𝑟 + 𝑖𝑘 ൰ − 2𝑖𝑘𝑒 𝑟 ଶ − 4𝜋𝛿 ଷ ( 𝒓 ) ∙ 𝑒 = − 1 4𝜋 ቈ −𝑘 ଶ 𝑒 𝑟 − 4𝜋𝛿 ଷ ( 𝒓 ) 𝑒 = 𝑘 ଶ ∙ 𝑒 4𝜋𝑟 + 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) 𝑒 אבל מחוקי פונקציית דלתא, 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) 𝑒 = 𝛿 ଷ ( 𝒓 − 𝟎 ) 𝑒 = 𝛿 ଷ ( 𝒓 − 𝟎 ) 𝑒 = 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) )פונקציית ה דלתא שלנו מתאפסת בכל מקום מלבד 𝒓 = 0 ( לכן סך הכל, ( ∇ ଶ + 𝑘 ଶ ) 𝐺 ( 𝒓 ) = 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) + 𝑘 ଶ ∙ 𝑒 4𝜋𝑟 − 𝑘 ଶ ∙ 𝑒 4𝜋𝑟 = 𝛿 ଷ ( 𝒓 ) ∎ כנדרש. לפונקציית גרין שמצאנו נוכל להוסיף פונקציית גרין 𝑮 𝟎 ( 𝒓 ) אשר פותרת את משוואת הלמהולץ ההומוגנית ופונקציית הגל המתאימה אליה היא 𝝍 𝟎 : (∇ ଶ + 𝑘 ଶ )𝐺 ( 𝒓 ) = 0 ⇔ (∇ ଶ + 𝑘 ଶ )𝜓 = 0 כאשר הפונקציה 𝜓 פותרת את משוואת שרדינגר עבור חלקיק חופשי. נציב את משוואה ) 4.16 ( ו משוואה ) 4.2 ( ב משוואה ) 4.6 ( ויחד עם 𝜓 נקבל: 𝜓 ( 𝒓 ) = 𝜓 ( 𝒓 ) − 𝑚 2 𝜋 ℏ ଶ න 𝑒 ห 𝒓 ି 𝒓 ᇲ ห | 𝒓 − 𝒓 ᇱ | 𝑉 ( 𝒓 ᇱ ) ∙ 𝜓 ( 𝒓 ᇱ ) 𝑑 ଷ 𝒓 ᇱ ( 4 17 ) משוואה ) 4.17 ( נקראת הצורה האינטגרלית של משוואת שרדינגר ; בעוד משוואת שרדינגר המוכרת לנו היא משוואה דיפרנציאלית, כאן מוצג הפתרון למשוואת שרדינגר כאינטגרל אשר פונקציית הגל )הפתרון( הוא חלק מהאינטגר נ ד. במילים אחרות: אתה לא באמת יכול לפתור את האינטגרל אם אתה לא יודע מראש את ה פתרון. למרות זאת, הצורה האינטגרלית של משוואת שרדינגר מאוד שימושית בפעיות פיזור ונשתמש בה מיד