第 1 页 共 4 页 数学试卷 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 5 分，共 5 0 分） 1 ． 已知实数 a 、 b 满足 4 - 2 | 3 - | | 4 - | = + + + a a b a ，则 b a 等于 ( ▲ ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 2 ． 设 a = 5 -1 ，则 代数式 3 a 3 +12 a 2 - 8 的值为 ( ▲ ) A ． 16 B ． 20 C ． 8 5 4 + D ． 10 5 4 + 3 ． 把一枚六个面编号分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 2 次 ， 若 两个正面朝 上 的编号分别为 s 、 t ， 则二次函数 y = x 2 + s x + 2 t 的图象与 x 轴 没 有 公共 点的概率是 ( ▲ ) A ． 18 5 B ． 18 13 C ． 36 13 D ． 2 1 4 ． 已知 x ， y 为实数，满足 𝐀𩐀 = 10 − 𝐀 − 𩐀 𝐀 2 𩐀 + 𝐀 𩐀 2 = 24 ，则 x 2 + y 2 的值为 ( ▲ ) A ． 4 B ． 28 C ． 4 或 28 D ． 4 或 16 5 ． 如图，在平面直角坐标系中， 点 A 在 反比例函数 y ＝ k x （ k ＞ 0 ， x ＞ 0 ）的图象 上 ， 点 E 是 x 轴上一点 ， 连接 AE ， 交反比例 函数 y ＝ k x 的图象 于点 F ， AF ＝ EF ， △ A E O 的面积为 6 ， 则 k 的值为 ( ▲ ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 6 6 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， I 是 △ ABC 的内心 ， 连 A I 并延长交 BC 于 D ， AB + AC = 9 ， 𝐀🀀 𝐀𝐀 = 2 3 ， 则 BC 的长为 ( ▲ ) A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7 7 ． 如图， A 、 B 、 C 、 D 都在格点上， AB 、 CD 交于点 O ，则 cos ∠ DOB 等于 ( ▲ ) A ． 3 2 B ． 2 2 3 C ． 10 10 D ． 5 5 8 ． 若不等式组 𝐀 + 1 ≥ 𝐀 𝐀 − 𝐀 ≤ 2 的解集中任一个 x 的值均不在 1 ＜ x ＜ 4 的范围内 ， 则 a 的取值范 围是 ( ▲ ) A ． -1 ＜ a ＜ 5 B ． -1 ≤ a ≤ 5 C ． a ≤ -1 或 a ≥ 5 D ． a ＜ -1 或 a ＞ 5 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 第 2 页 共 4 页 9 ． 如图 所 示 ， 在直角坐标系中 ， 圆 P 是以 P (-1 ， 1 ） 为 圆心 ， 半径为 2 的圆 ， 直线 l 的方程为 x + y − 4 =0 ， 在 l 上任取一点 A 作圆 P 的切线 ， 切点为 B ， 则 AB 长的最 小值为 ( ▲ ) A ． 5 B ． 6 C ． 2 2 D ． 10 10 ． 用 x 表示不超过 x 的最大整数 ， 把 x x 称为 x 的小数部分 已知 𝐀 = 1 2+ 3 ， a 是 t 的 小数部分， b 是 t 的小数部分，则 a + b 的值为 ( ▲ ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 3 D ． 2 3 -3 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 3 0 分） 11 ． 因式分解： ( m 2 - 1)( n 2 -1)+4 mn = ▲ ． 12 ． 函数 y= 4 ) - 12 ( 9 2 2 + + + x x 的最小值是 ▲ ． 13 ． 已 知 x 是实数 ， 且有无数 个 x 使 𝐀 − 2011 + 𝐀 − 2012 + 𝐀 − 2013 + ． ． ． + 𝐀 − 2022 的值是一个确定的同一常数 ， 则此常数为 ▲ ． 14 ．如图， ABC △ 内接于 ⊙ O ， BC =6 ， ∠ BAC =60 ° ， H 为三条高的交点 ， 则 AH ▲ ． 15 ． 如图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C =90 ° ， AC =3 ， BC =4 ， 若 两直角顶点 B 、 A 分别在 x 轴 、 y 轴的正方向上移动，则直角顶点 C ( C 、 O 在 AB 两侧 ) 运动路径长为 ▲ ． 1 6 ． 设一列数 x 1 ， x 2 ， ... ， x 20 22 中 ， 对于 1 ≤ n ≤ 201 9 ， 均有 x n + x n+1 + x n+2 + x n+3 =3 2 ， 已知 x 4 =1 7 ， 则 x 1+ x 3 + x 20 22 = ▲ ． 三、解答题（本题有 5 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、说理过程或演算步 骤） 1 7 ． （本题 1 6 分） (1) 解方程： x 2 + y 2 - xy +6 y +12=0 ( 2) 若 a ， c ， d 是整数 ， b 是正整数 ， 满足 a+ 2 b=c ， c+ 2 b=d ， c+d=a ， 求 a-b-c+d 的最大值 ． 第 14 题图 第 15 题图 第 3 页 共 4 页 1 8 （ 本题 1 2 分 ） 如图 ， 在正方形 ABCD 中 ， 点 E 是边 CD 的中 点 ， 连接 AE ， 过点 B 作 BF ⊥ A E 于 F ， 交 AD 于 H ， 连 DF ． (1) 求 ∠ DFE 度数； (2) 若四边形 DEFH 的面积是 24 ， 求 DF 的长 ． 19 （ 本题 16 分 ） 某班兴趣小组对函数 y ＝ x 2 -4 | x | 的图象和性质进行了探究 ， 探究过程如下 ， 请补充完整． 【 动手操作】 自变量 x 的取值范围是全体实数， 给出 x 与 y 的几组对应值 并 列表如下： 根据表 中 数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并 补全 函数图象； 【 探究发现】 （ 1 ） 观察函数图象，当 y 随 x 增大而 增大 时， 则 x 的取值范围是 ▲ ； （ 2 ） ① 方程 x 2 -4 | x | ＝ 0 有 ▲ 个实数根； 方程 x 2 -4 | x | ＝ 1 有 ▲ 个实数根； ② 若关于 x 的方程 x 2 -4 | x | ＝ n 有 4 个实数根， 则 n 的取值范围 为 ▲ ． 【 拓展应用】 （ 3 ） 若关于 x 的方程 𝐀 𝐀 ( 𝐀 − 3) = 𝐀 2 有四个不同的实数解 ， 求 k 的取值范围 ． 第 4 页 共 4 页 20 （本题 1 2 分）如图， 已知 △ ABC 是 ⊙ O 的内接三角形 ， A D ⊥ BC 于 D ， BD =3 ， D C = 6 ， A D =4 (1) 求 ⊙ O 半径 R (2) ∠ ABC 的角平分线交 ⊙ O 于 F ，求 BF 的长． 21 （ 本题 14 分 ） 已知 ， 如图 1 ， 在平面直角坐标系中 ， 抛物线 y = 1 3 x 2 − 1 3 x − 4 与 x 轴交 于点 A 、 B ， 与 y 轴交于点 C ， 直线 AD 交 y 轴于点 D ， 交抛物线于点 E ， 点 E 的横坐标为 5 ， 连接 AC ． （ 1 ）求直线 AD 的解析式； （ 2 ）如图 2 ，点 F 为第 四 象限内抛物线上的动点，过点 F 作 FG ∥ y 轴交直线 AD 于点 G ， 过点 F 作 FH ∥ AC 交直线 AD 于点 H ，当 △ FHG 周长最大时， 求点 ．． F ． 的坐标 ．．． ．此时，点 T 为 y 轴上一动点，连接 TA ， TF ，当 | TA - TF | 最大时 求点 ．． T ． 的坐标 ．．． ； （ 3 ） 如图 3 ， 点 F 仍为第 四 象限内抛物线上的动点 ， FH 交 x 轴于点 M ， 点 N 为线段 FG 上 一动点 ， 将 △ FMN 沿着 MN 翻折得到 △ PMN ， PM 交 FG 于 Q ， 连 CF ， 使四边形 ACFH 为 平行四边形， 当 P N ＝ P Q 时，求线段 FN 的长． 图 3 图 1 图 2