Chương 1 Biến cố - Xác suất 1.1 Biến cố ngẫu nhiên 1.1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1. Phép thử là một thí nghiệm hay một quan sát về hiện tượng nào đó trong cuộc sống, trong một số điều kiện nhất định. Định nghĩa 2. Không gian mẫu Ω của một phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra sau khi thực hiện phép thử. Định nghĩa 3. Biến cố ngẫu nhiên là một tập con của không gian mẫu Ω Các loại biến cố đặc biệt • Biến cố chắc chắn ( Ω ) là biến cố nhất định xảy ra. • Biến cố không thể ( ∅ ) là biến cố nhất định không xảy ra. 1.1.2 Các phép toán trên biến cố ngẫu nhiên Phép thử: Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất 1 lần. Không gian mẫu: Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Biến cố tổng Biến cố tổng của hai biến cố A và B , ký hiệu là A + B (hoặc A ∪ B ), là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. A B A + B = { ω ∈ Ω | ω ∈ A hoặc ω ∈ B } Ví dụ 1. Gọi A là biến cố "Gieo được mặt chẵn" → A = { 2 , 4 , 6 } Gọi B là biến cố "Gieo được mặt nhỏ hơn 3" → B = { 1 , 2 } Biến cố tổng ( A + B ) : "Gieo được mặt chẵn HOẶC nhỏ hơn 3" → A + B = { 1 , 2 , 4 , 6 } 1 Biến cố tích Biến cố tích (hay còn gọi là Giao) của hai biến cố A và B , ký hiệu là A · B (hoặc A ∩ B , hoặc AB ), là biến cố xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra đồng thời. A B AB = { ω ∈ Ω | ω ∈ A và ω ∈ B } Ví dụ 2. Gọi A là biến cố "Gieo được mặt chẵn" → A = { 2 , 4 , 6 } Gọi B là biến cố "Gieo được mặt nhỏ hơn 3" → B = { 1 , 2 } Biến cố tích ( AB ) : "Gieo được mặt chẵn VÀ nhỏ hơn 3" → AB = { 2 } Biến cố kéo theo Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B (ký hiệu A ⊂ B hoặc A = ⇒ B ) nếu hễ A xảy ra thì kéo theo B sẽ xảy ra. Ω B A Ví dụ 3. Gọi A là biến "Gieo được mặt Nhị (2 chấm)" → A = { 2 } Gọi B là biến cố "Gieo được mặt Chẵn" → B = { 2 , 4 , 6 } Nếu A xảy ra, thì chắc chắn B đã xảy ra (vì 2 là số chẵn). Ta nói: A kéo theo B ( A ⊂ B ). Biến cố bằng nhau (tương đương) Hai biến cố A và B gọi là bằng nhau ( A = B hoặc A ⇐⇒ B ) khi và chỉ khi A ⊂ B và B ⊂ A Ví dụ 4. Gọi A là biến cố "Gieo được mặt có số chấm lẻ" → A = { 1 , 3 , 5 } Gọi B là biến cố "Gieo được mặt có số chấm không chia hết cho 2" → B = { 1 , 3 , 5 } Ta thấy A và B là một, chỉ là cách diễn đạt khác nhau. Vậy A = B Biến cố độc lập Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia. Ví dụ 5. Gieo riêng biệt 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố "Xúc xắc thứ 1 xuất hiện mặt 6 chấm". Gọi B là biến cố "Xúc xắc thứ 2 xuất hiện mặt 6 chấm". Kết quả của việc gieo xúc xắc thứ nhất không ảnh hưởng gì đến xúc xắc thứ hai. Vậy A và B độc lập. 2 Biến cố đối lập Biến cố đối lập của biến cố A , ký hiệu là A , là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. Ví dụ 6. Gọi A là biến cố "Gieo được mặt 6 chấm" → A = { 6 } Biến cố đối ( A ) : "Gieo KHÔNG được mặt 6 chấm" → A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } Biến cố xung khắc Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử. Ví dụ 7. Gọi A là biến cố "Gieo được mặt chẵn" → A = { 2 , 4 , 6 } Gọi B là biến cố "Gieo được mặt 5 chấm" → B = { 5 } Rõ ràng không thể vừa ra mặt chẵn, vừa ra mặt 5 cùng lúc. Vậy A và B xung khắc. Phân biệt Xung khắc và Đối lập: • Đối lập: Bắt buộc phải xảy ra 1 trong 2 (Mặt Sấp vs Mặt Ngửa) • Xung khắc: Không thể xảy ra cả 2, nhưng có thể không xảy ra cái nào cả. (Ví dụ trên: Ra mặt 1 thì cả A và B đều không xảy ra). Biến cố sơ cấp Biến cố sơ cấp là biến cố chỉ bao gồm duy nhất một kết quả của phép thử. Nếu không gian mẫu là Ω , thì mỗi phần tử ω ∈ Ω được gọi là một biến cố sơ cấp. Ký hiệu: { ω } Biến cố sơ cấp không thể biểu diễn thành tổng của các biến cố khác. Trong một lần thử, hai biến cố sơ cấp khác nhau không thể cùng xảy ra (nếu kết quả là a thì không thể là b ). Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian mẫu (Ω) Ω = { ω 1 , ω 2 , . . . , ω n } Ví dụ 8. E 1 là biến cố "Ra mặt 1 chấm" → E 1 = { 1 } → Là biến cố sơ cấp. E 2 là biến cố "Ra mặt 2 chấm" → E 2 = { 2 } → Là biến cố sơ cấp. Gọi A là biến cố "Ra mặt chẵn" → A = { 2 , 4 , 6 } A KHÔNG PHẢI là biến cố sơ cấp, vì nó được hợp thành từ 3 biến cố sơ cấp ( { 2 } , { 4 } , { 6 } ). Tính chất Cho A, B là 2 biến cố thuộc không gian mẫu Ω . Khi đó 1) A ∩ ∅ = ∅ 2) A ∪ ∅ = A 3) A = A 4) A ∩ A = ∅ 5) A ∪ A = Ω 6) A ∩ B = A ∪ B 7) A ∪ B = A ∩ B 8) A = A ∩ ( B ∪ B ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) 9) Nếu A ⊂ B thì A ∪ B = B 10) Nếu A ⊂ B thì A ∩ B = A Câu 1. Có ba hộp sản phẩm, mỗi hộp có 10 sản phẩm trong đó có 3 sản phẩm xấu. Lấy mỗi hộp 1 sản phẩm. Gọi A i = “lấy được sản phẩm tốt ở hộp thứ i ”, i = 1 , 2 , 3 . Hãy biểu diễn qua A i các biến cố sau: a) A = “lấy được ba sản phẩm tốt”. b) B = “lấy được một sản phẩm tốt”. c) C = “lấy được sản phẩm tốt”. d) D = “không có sản phẩm nào tốt. e) E = "Lấy được ít nhất 2 sản phẩm tốt" | Lời giải. 3 a) A = A 1 A 2 A 3 b) B = A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 c) C = A 1 + A 2 + A 3 d) D = A 1 A 2 A 3 e) E = A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 Câu 2. Có 3 máy hoạt động độc lập. Gọi A i = “máy thứ i bị hỏng.”, i = 1 , 2 , 3 . Hãy biểu diễn qua A i các biến cố sau: a) A = “chỉ có máy 1 hỏng” b) B = “Máy 1, 2 hỏng nhưng máy 3 không hỏng” c) C i = “Có i máy hỏng”, i = 1 , 2 , 3 d) D = “Có nhiều nhất 2 máy hỏng”. e) E = “Có ít nhất 2 máy hỏng". | Lời giải. a) A = A 1 A 2 A 3 b) B = A 1 A 2 A 3 c) C 1 = A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 , C 2 = A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 , C 3 = A 1 A 2 A 3 d) D = "Có 0, 1, hoặc 2 máy hỏng" → D = A 1 A 2 A 3 + C 1 + C 2 Hoặc ta có thể sử dụng biến cố đối D = "Cả 3 máy đều hỏng" → D = C 3 → D = A 1 A 2 A 3 e) E = C 2 + C 3 1.2 Xác suất của một biến cố 1.2.1 Xác suất cổ điển Định nghĩa 4 (Xác suất cổ điển). Nếu trong một phép thử có n biến cố sơ cấp đồng khả năng xuất hiện trong đó có m biến cố sơ cấp kéo theo biến cố A thì xác suất của A là P ( A ) = n ( A ) n (Ω) = m n Chú ý. • Số lượng kết quả có thể xảy ra là đếm được và hữu hạn (không phải vô hạn). • Đồng khả năng : Các kết quả sơ cấp có khả năng xảy ra như nhau. Tính chất Cho A ⊂ Ω , khi đó 1) 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 ; 2) P ( ∅ ) = 0 và P (Ω) = 1 ; 3) P ( A ) = 1 − P ( A ) ; 4) Nếu A = ⇒ B thì P ( A ) ≤ P ( B ) 5) Nếu A ⇐⇒ B thì P ( A ) = P ( B ) Ví dụ 9. Một hộp có 4 bi trắng và 3 bi xanh. Lấy từ hộp ra 2 bi để xem màu theo ba cách: Cách 1. Lấy ngẫu nhiên 2 bi cùng lúc Cách 2. Lấy lần lượt 2 bi (không hoàn lại). Cách 3. Lấy có hoàn lại 2 bi Tính xác suất lấy được 2 bi trắng theo từng cách. | Lời giải. Tổng số bi trong hộp: 4 + 3 = 7 (bi) Cách 1. Lấy ngẫu nhiên 2 bi cùng lúc 4 Số cách chọn 2 bi bất kỳ từ 7 bi là: n (Ω) = C 2 7 = 21 Số cách chọn 2 bi trắng từ 4 bi trắng là: n ( A ) = C 2 4 = 6 Xác suất: P 1 ( A ) = 6 21 = 2 7 Cách 2. Lấy lần lượt 2 bi (không hoàn lại). Số cách lấy lần lượt 2 bi từ 7 bi là n (Ω) = A 2 7 = 42 Số cách lấy lần lượt 2 bi trắng là n ( A ) = A 2 4 = 12 Xác suất P 2 ( A ) = 12 42 = 2 7 Cách 3. Lấy có hoàn lại 2 bi. Số cách chọn 2 bi có hoàn lại từ 7 bi là n (Ω) = 7 2 = 49 (Lần 1 có 7 cách chọn, lần 2 cũng có 7 cách chọn do bi lần 1 đã được bỏ lại) Số cách chọn 2 bi trắng có hoàn lại là n ( A ) = 4 2 = 16 Xác suất P 3 ( A ) = 16 49 Nhận thấy: Việc lấy ngẫu nhiên k phần tử cùng lúc hay lấy lần lượt không hoàn lại thì xác suất để thu được cùng một tập hợp phần tử là như nhau. Ví dụ 10. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 6 khách nam và 4 khách nữ đến thuê phòng. Người quản lý khách sạn chọn ngẫu nhiên 6 người để cho thuê. Tính xác suất để: a) 6 nam được thuê phòng ( A ) b) 2 nữ được thuê phòng ( B ) c) Ít nhất 2 nữ được thuê phòng ( C ) | Lời giải. Tổng số khách: 6 + 4 = 10 người. Không gian mẫu chính là số cách chọn ngẫu nhiên 6 người từ 10 người: n (Ω) = C 6 10 = 210 a) Tính P ( A ) Số cách chọn 6 nam là n ( A ) = C 6 6 = 1 . Xác suất P ( A ) = 1 210 b) Tính P ( B ) Số cách chọn 2 nữ là n ( B ) = C 2 4 = 6 . Xác suất P ( B ) = 6 210 = 1 35 c) Tính P ( C ) C = "Có ít hơn 2 nữ được thuê phòng". TH1 . Có 0 nữ và 6 nam thuê phòng. Số cách chọn thỏa mãn là C 0 4 · C 6 6 = 1 cách TH2. Có 1 nữ và 5 nam thuê phòng. Số cách chọn thỏa mãn là C 1 4 · C 5 6 = 24 cách. Do đó n ( C ) = 24 + 1 = 25 Xác suất P ( C ) = 1 − P ( C ) = 1 − 25 210 = 37 42 Ví dụ 11. Ba khách hàng đi vào 6 quầy phục vụ của một ngân hàng. Tính xác suất để: a) Cả 3 khách cùng đến một quầy ( A ) b) Mỗi người đến một quầy khác nhau ( B ) c) Hai trong 3 người đến một quầy ( C ) d) Chỉ có một khách đến quầy số 1 ( D ) | Lời giải. Mỗi khách hàng trong số 3 khách hàng đều có 6 lựa chọn về quầy phục vụ. Do đó, tổng số cách sắp xếp là: n (Ω) = 6 × 6 × 6 = 6 3 = 216 a) Cả 3 khách cùng đến một quầy nên ta cần chọn 1 trong 6 quầy cho 3 khách. Số cách chọn n ( A ) = C 1 6 = 6 Xác suất P ( A ) = 6 216 = 1 36 b) Xếp 3 người vào 6 quầy khác nhau (có tính thứ tự) → n ( B ) = A 3 6 = 120 Xác suất P ( B ) = 120 216 = 5 9 c) Số cách chọn 2 trong 3 người là C 2 3 = 3 . 2 người được chọn có C 1 6 = 6 cách cùng đến 1 quầy. Người còn lại có 5 5 cách chọn quầy. Do đó n ( C ) = 3 · 6 · 5 = 90 Xác suất P ( C ) = 90 216 = 5 12 d) Chọn 1 khách đến quầy số 1 có 3 cách. 2 khách còn lại có 5 · 5 = 25 cách chọn quầy. Do đó n ( D ) = 75 Xác suất P ( D ) = 75 216 = 25 72 1.2.2 Các công thức tính xác suất Công thức xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện của biến cố A biết rằng biến cố B đã xảy ra ( P ( B ) > 0) , kí hiệu là P ( A | B ) và được tính bởi công thức P ( A | B ) = P ( AB ) P ( B ) Khi biết B đã xảy ra, không gian mẫu Ω ban đầu bị "thu hẹp" lại chỉ còn là B . Khi đó, ta đi tìm phần giao nhau giữa A và không gian mẫu mới ( B ). Công thức nhân và công thức cộng xác suất Cho 2 biến cố A và B bất kỳ: P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) Nếu A và B xung khắc, tức A ∩ B = ∅ , thì P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) Từ công thức xác suất có điều kiện, ta suy ra: P ( AB ) = P ( A ) · P ( B | A ) = P ( B ) · P ( A | B ) Nếu A và B độc lập, tức là việc A xảy ra không ảnh hưởng đến B , thì P ( AB ) = P ( A ) · P ( B ) Công thức xác suất đầy đủ và Bayes Giả sử có một hệ đầy đủ các biến cố H 1 , H 2 , . . . , H n (chúng xung khắc từng đôi một và hợp lại bằng toàn bộ không gian mẫu). Với một biến cố A bất kỳ: • Công thức xác suất đầy đủ: Dùng để tính xác suất của A khi nó bị ảnh hưởng bởi nhiều nguyên nhân/trường hợp ( H i ) khác nhau. P ( A ) = n ∑ i =1 P ( H i ) · P ( A | H i ) • Công thức Bayes: Dùng để lật ngược bài toán. Khi đã biết kết quả A xảy ra, ta đi tìm xác suất để nguyên nhân H k gây ra kết quả đó. P ( H k | A ) = P ( H k ) · P ( A | H k ) P ( A ) = P ( H k ) · P ( A | H k ) n ∑ i =1 P ( H i ) · P ( A | H i ) Công thức xác suất Bernoulli Xét một phép thử có đúng 2 kết quả: Thành công (xác suất p ) và Thất bại (xác suất q = 1 − p ). Thực hiện phép thử này n lần một cách độc lập. Gọi X là số lần "Thành công" trong n lần thử đó. Xác suất để có đúng k lần thành công được tính bằng công thức: P ( X = k ) = C k n · p k · (1 − p ) n − k ( với k = 0 , 1 , 2 , . . . , n ) 6 Ví dụ 12. Một sinh viên thi hết môn Xác suất- Thống kê. Trong đề thi có 25 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng. Tính xác suất sinh viên trả lời đúng 12 câu hỏi trắc nghiệm, biết rằng sinh viên đó chọn trả lời một cách ngẫu nhiên cho từng câu hỏi trắc nghiệm? | Lời giải. Số lần thử (số câu hỏi): n = 25 Xác suất thành công (trả lời đúng) trong mỗi lần thử: p Vì mỗi câu có 4 phương án và chỉ có 1 phương án đúng, nên p = 1 4 = 0 , 25 Xác suất thất bại (trả lời sai): q = 1 − p = 3 4 = 0 , 75 Ta cần tính xác suất sinh viên trả lời đúng k = 12 câu, tức là P ( X = 12) P ( X = 12) = C 12 25 · ( 1 4 ) 12 · ( 3 4 ) 25 − 12 ≈ 0 , 00416 7