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Part - A  Q1 . Let ( ) 7 2 n n f n   When 1 n  , 1 1 (1) 7 2 5 5 1 f      Therefore the above statement is true when n =1 Assume that the above statement is true when n p    i.e. ( ) 7 2 5 p p f p k    ( ) k   When 1 n p   1 1 ( 1) 7 2 p p f p      ( 1) 7.7 2.2 p p f p    ( 1) 7.(7 2 ) 5.2 p p p f p     ( 1) 7.5 5.2 p f p k    ( 1) 5.(7 2 ) 5 p f p k m     ( ) m   Therefore the above statement is true when 1 n p   Hence by principle of mathematical induction the above statement is true for all n    Q2 . 1, 3, 2 B A N    The no. of arrangements that can be formed 6! 60 2! 3!    Considering the two Ns as one, the no. of arrangements that can be formed 5! 2! 40 3!     The no. of arrangements that doesn’t have two N s next to each other 60 40 20     Q3 .       3 2 i a i a i         3 1 3 2 2 a i a a i          3 1 2 , 3 2 a a i a i        1 2 3 3 2 a                3 2 3 2 2 3 i i i                       2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 i i i i i                    2 3 3 1. cos sin 2 6 6 2 3 i i i i                                Modulus 1  , 6 Arg z    AL/201 7 /10/ E - I -2 -  Q4 . 3 2 2 1 ln ln 1 lim 1 x x x x x x      2 1 ( 1)( ln ln 1) lim ( 1)( 1) x x x x x x x x x          2 1 ( ln ln 1) lim ( 1) x x x x x x x        3 2   Q5 .   0 1 1 2 2 0 0 1 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) ........ ( 1) ...... ( 1) n n n n n n n n n r r n n r n x C x C x C x C x C x                 Substituting for 17, 500 x n     500 500 500 0 500 499 1 500 498 2 500 500 0 1 2 500 0 500 500 17 1 17 ( 1) 17 ( 1) 17 ( 1) ........... 17 ( 1) ........... ....... 17 ( 1) r r r C C C C C                   500 500 499 0 500 498 1 500 497 2 500 499 0 1 2 500 0 499 499 16 17. 17 ( 1) 17 ( 1) 17 ( 1) ........... 17 ( 1) .......... ........ 17 ( 1) 1 r r r C C C C C                 2000 500 499 0 500 498 1 500 497 2 500 499 0 1 2 500 0 499 499 2 17. 17 ( 1) 17 ( 1) 17 ( 1) .............. 17 ( 1) .......... ........ 17 ( 1) 1 r r r C C C C C               Multiplying both side by 3 2 ,     2003 500 499 0 500 498 1 500 497 2 500 499 0 1 2 500 0 499 499 2 17. 8. 17 ( 1) 17 ( 1) 17 ( 1) ........... 17 ( 1) .......... ........ 17 ( 1) 8 r r r C C C C C                The remainder when 2003 2 is divided by 17 8   Q6 . 6 4 3 A y dy      6 32 4 3 32 y             2 3 3 1 3   square units . y 6 y  4 y  2 3 y x   x AL/201 7 /10/ E - I -3 -  Q7 . The point at which the curve x a y be   cuts y -axis   0, b  Gradient of the curve at that point (0, ) b dy dx  (0, ) x a b b e a b a      The equation of the curve drawn at that point  ( 0) b y b x a     1 x y a b    The line 1 x y a b   touches the curve x a y be   at the point   0, b  Q8 . Gradient of ON y x  Gradient of PN 3 2 y x    ON PN   3 1 2 y y x x      ( 3) ( 2) 0 y y x x       2 2 3 13 1 2 4 x y            The locus of N is a circle. Center 3 1, 2       Radius 13 2  y ( , ) N x y  (2, 3) P  O x AL/201 7 /10/ E - I -4 -  Q9 . Equation of straight line      8 tan(135 ) 8 y x        8 8 y x     0 x y   It is a line going through origin. Equation of circle      2 2 2 2 5cos 5sin x y      2 2 2 5 x y   Center   0, 0  Radius 5   The circle and the straight line intersect each other. The intersecting chord is the diameter of the circle  length of the chord 10   Q10 . Let   1 1 4 tan 3 , cos 5              Here , 0 2 4 2            2 , .................(1) 2 2                 2 2 2 2 1 tan 1 ( 3) 4 cos(2 ) 1 tan 1 ( 3) 5              4 cos( ) cos( ) cos( ) 5             cos(2 ) cos( )       From (1) , 2        1 1 4 2 tan 3 cos 5              y 0 x y     8, 8   2 2 2 5 x y   x 135  AL/201 7 /10/ E - I -5 - Part – B  Q11 . ( ) ( ) a i   2 2 1 3 1 2 4 f x x x x              ( ) 0 f x  for all x ( ) ii     2 4 3 4 g x x m x     For   0 g x  , 2 0 & 4 0 a b ac       2 4 0 & 3 4 4 4 0 m          11 5 0 11 5 m m m       ( ) iii     2 2 3 2 h x x m x     For   0 h x  , 2 0 & 4 0 a b ac       2 2 0 & 3 4 2 2 0 m          1 7 0 1 7 m m m                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 1 3 1 1 3 1 1 0 3 1 1 & 1 3 1 0 4 3 4 & 0 2 3 2 ( ) 0 & ( ) 0 11 5 & 1 7 1 5 x mx x x x x x mx x x x x x x x mx x mx x x x m x x m x g x h x m m m                                                        ( ) b   4 3 2 2 3 2 3 f x x x x x      According to remainder theorem,   ( 2) ( ) (2) 16 16 12 4 3 19 f x x x R f R                1 1 1 2 2 ( 2) ( ) ( 3) ( ) x x x R x x x R                     1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 ( 2) ( 2) ( ) ..............................(1) ( 2) ( 2) ( 3) ( ) ( ) ( 2) ( 3) ( ) ( 2) ( 2) f x x x x R R f x x x x x R R R f x x x x x R x R R                            2 1 1 2 1 1 1 3 2 (1) ( 2) ( ) ( 2) ( 2) ( ) 2( 2) ( ) ( ) 4 6 6 2 f x x x R x R f x x x x x R f x x x x                      11  5 1  7 AL/201 7 /10/ E - I -6 -  The remainder take that form   1 2 2 2 2 2 2 2 32 24 12 2 42 ( ) ( 2) ( 3) ( ) ( 2) 42( 2) 19 (3) 42 19 81 54 27 6 3 44 f R f x x x x x R x f R R                           Remainder 2 44( 2) 42( 2) 19 x x      44, 42, 19 a b c      Q12 . ( ) a       1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n a a a a a a a a a a                            1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r r r r r r r a a a a a a a a a a                                  1 1 1 1 1 r r r a f r f r a a             1 ( ) 1 1 r f r a a           1 1 1 1 1 r r r r a U f r f r a a                             1 2 3 1 0 1 1 2 2 3 ..... 2 1 1 n n U f f U f f U f f U f n f n U f n f n                         1 1 1 1 (0) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 n n r n n r a U f f n a a a a a                     1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 r n n r r n n r a                    1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 r n r r n r         For any n   ,   2 0 1 2 1 n         1 1 2 0 1 1 2 1 2 0 1 1 2 1 2 n r n r r r              AL/201 7 /10/ E - I -7 -            1 1 1 1 1 1 1 2017 2017 1 2017 1 2017 1 2017 2 2016 2017 1 2017 2017 2017 1 4032 2017 1 1 2017 1 2017 1 1 2017 2017 2017 1 2017 201 lim lim lim 4032 2017 1 4032 1 2017 1 2017 r n n r r n r r n n n r r r r n n n r r n n n r a                                               2017 7 1 4032 1 2017 n n           ( ) b 2 2 2 2 ( 2) ( 1) 1; 0 2 1 ( 1) ; 0 2 y x x y x x x x or x y x x               1 2 1 2 1; 2 1 1 2 ; 2 y x y x x y x x         0 0 0 0, 2 x y y x       Symmetrical axis 1 x   x y      1 2 0 2 3  1  y 2 2 y x x   x 1 2 y x   2 1 y x   2 2 y x x   2 2 y x x   2 3  AL/201 7 /10/ E - I -8 - 1 2 1 Intersection points of the curves 2 2 1 2 1 1 x x x x x         2 2 1 2 2 3 2 3 x x x x x         2 2 2 1 1 1 x x x x x        2 2 2 1 2 3 2 3 x x x x x         2 2 1 2 x x x    The region where the curve 1 2 y x   lies above 2 2 y x x   Solution set     1 2 3 1 2 3 x x x x             Q13 . ( ) a 1 1 0 0 1 a b a b c d c d                  1 1 0 1 0 1 0 0 1 a b d b a b d b c d c a c d c a ad bc ad bc ad bc ad bc ad bc                                              1 1 a b d b c d c a ad bc                   For existence of an inverse for a 2 2  matrix, 0 ad bc   3 7 4 1 , 1 2 3 1                 A B 3 7 4 1 9 4 1 2 3 1 2 1                      AB     1 1 4 1 4 1 2 9 2 9 9 8                      AB   1 2 7 2 7 1 1 3 1 3 6 7                     A   1 1 1 1 1 1 3 4 3 4 4 3                 B   1 1 1 1 1 2 7 1 1 19 26 ( ) 1 3 3 4 8 11 i                             A B AB A B   1 1 1 1 1 1 1 2 7 1 4 ( ) 3 4 1 3 2 9 ii                             B A AB B A AL /201 7 /10/ E - I -9 - ( ) b       1 3 : 4 : Im 0 : Re 0 1 3 i A i                               z z z z z z Let z x iy     2 2 2 2 2 4 4 4 .................................. 1 z x y x y            1 3 Im 0 1 3 1 3 Im 0 1 3 3 4 3 Im 4 3 0 4 3 .......................................... 2 i i i i x y i y x y x y x                                         z x + iy   Re 0 0.............................(3) x   z (1) (2) (3) A    The angle made by 3 y x   with positive real-axis   1 2 tan 3 3       Area 2 1 5 4 2 6     20 3   Imaginary axis 3 y x   2 2 2 4 x y   Real axis 2 3  AL/201 7 /10/ E - I -10 - ( ) c Let z x iy   2 2 2 2 2 2 ( )( ) z x y z x iy z z x iy x iy x y z           ( ) ( ) 2 2Re z z x iy x iy x z                 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 Re z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z                         2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 Re 2 Re z z z z z z z z z z                    1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Re 2 Re Re 0 z z z z z z z z z z                z z z z z z z z z z z z   1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Re Re Re Re 0 z z z z z z z z z z z z                         1 2 z z  is purely imaginary.  Q14 . ( ) a   2 2 2 4 x y x      2 2 2 4 4 4 ( 1) 4 4 4 0 x y x x y x x y          x   2 4 0 b ac   2 4 4( 1)(4 4) 0 ( 2) 0 0 2 y y y y y                      2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 4 4 x x x x x x dy dx x x           AL/201 7 /10/ E - I -11 - 0 2, 2 dy x dx     Turning points : (2, 0) , ( 2, 2)  ( 2, 2)   is maximum point and (2, 0) is minimum point. 0 1, 0 2 x y y x       Points of intersection with the axes : (0,1) , (2, 0)   2 2 2 2 2 2 4 4 1 2 4 4 4 4 4 1 x x x x x y x x x            As x   , 1 y   Horizontal asymptote : 1 y          2 2 2 2 4 2 2 4 x x x x x y x        The line y x  cuts the curve at only one point.     2 2 4 2 x x x     has only one real solution. ( ) b 2 2 1 2 3 V R h R H      2 2 1 1 90 00 2 3 0 2 3 3 3 H h h H             2 2 2 100 2 2 2 3 3 2 3 600 4 6 9 2 3 S Rl RH S h S h h h                             h 3 m H m h m AL/201 7 /10/ E - I -12 - y x  y 1 y  2 1 x 2  2    dy dx    2 x     2 x  2 x     2 2 x    2 x    2 4 6 9 dS h dh h       2 2 0 4 6 0 9 5 36 6 ( 0) 5 dS h dh h h h h            6 0 5 6 0 5 dS h dh dS h dh        Therefore S is minimum when 6 5 h   Q15 . ( ) a sin dx ax I e bx     2 2 2 2 2 sin cos d sin cos sin d sin cos 1 sin cos ax ax ax ax ax ax ax ax ax e bx e bx b x a a e bx b e bx e bx b x a a a a e bx be bx b I a a a I ae bx be bx C a b                      ( ) b          2 2 2 11 3 2 3 1 3 1 1 x x A B C x x x x x                  2 2 11 3 2 1 1 3 3 x x A x B x x C x          1 3 3 1 x C x A         The co-efficient of o x 3 3 11 1 A B C B                          2 2 2 2 2 2 11 3 2 1 1 3 3 1 3 1 1 11 3 2 1 1 3 3 1 3 1 1 x x x x x x x x x dx dx dx dx x x x x x                               3 ln( 3) ln( 1) 1 x x C x         C  Arbitrary constant AL/201 7 /10/ E - I -13 - C  Arbitrary constant ( ) c   2 2 2 2 d 1 d Ax B C x ax bx c ax bx c ax bx c                          2 2 2 2 2 2 2 2 ( )(2 ) 1 ( )(2 ) 1 ax bx c A Ax B ax b C ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c A Ax B ax b C ax bx c                       Co-efficient of 2 x aA Ca A C       Co-efficient of x 2 2 aB Cb bC aB       Co-efficient of 0 x 2 1 1 2 b Ac Bb Cc Cc C Cc a         2 2 2 2 2 , , 4 4 4 a a b C A B ac b ac b ac b       1, 4, 1 a b c     1 1 1 , , 6 3 6 A B C         2 2 2 2 1 1 1 d 1 6 3 6 d 4 1 4 1 4 1 x x x x x x x x                        1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 d 1 1 1 6 3 d 4 1 6 4 1 4 1 x dx dx dx x x x x x x x                           1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 d 1 1 6 3 d 4 1 6 ( 2) 3 4 1 x dx dx dx x x x x x x                          1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6 3 4 1 12 3 ( 2 3) ( 2 3) 4 1 x dx dx x x x x x x                            1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 2 3 6 3 ln 4 1 12 3 2 3 4 1 x x dx x x x x x                                  1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 3 2 3 6 3 ln 4 1 36 2 3 4 1 x x dx x x x x x                                  1 1 3 3 3 2 3 ln ln 12 3 36 3 3 2 3 1 3 3 3 2 3 1 3 ln ln 2 3 3 36 4 36 3 3 2 3                                                    AL/201 7 /10/ E - I -14 -  Q16 . ( ) a 2 2 2 2 0 x y gx fy c      Center   , g f    Radius 2 2 r g f c    Circle touches x -axis  2 2 2 2 r f g f c f g c       Circle cuts y -axis  2 2 2 2 r g g f c g f c       Length of chord 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 r g g f c g f c          Circle touches x -axis at ( , 0) a  2 2 g a c g a     Length of chord 2 2 2 2 2 l a l l f c f         (The circle cuts positive y -axis) Center 2 2 , 2 l a a           Radius 2 2 2 l a r   Equation of circle   2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 l a l a x a y                1 12, 10 60 2 a l ABC al       square units ( ) b P lies on 5 4 0 x y     5 4 0.................(1) x y    Gradient of PM is m  5 ......................(2) 1 y m x          (2) 5 1 (1) 5 5 1 4 0 9 25 , 5 5 9 25 , 5 5 y m x x m x m m x y m m m m P m m                             3 4 4 0 x y    P  5 4 0 x y    Q  (1,5) M  y   , g f    r x ( , 0) A a l B C y   , g f    r x AL/201 7 /10/ E - I -15 - Q lies on 3 4 4 0 x y     3 4 4 0.................(1) x y    Gradient of QM is m  5 ......................(2) 1 y m x          (2) 5 1 (1) 3 4 5 1 4 0 4 16 15 , 4 3 4 3 4 16 15 , 4 3 4 3 y m x x m x m m x y m m m m Q m m                             Center of PQ is M  1 9 4 16 1 2 5 4 3 35 83 83 35 m m m m m m               or 1 25 15 5 2 5 4 3 (35 83) 0 83 ( 0) 35 m m m m m m m m                 Equation of PQ : 83 5 ( 1) 35 83 35 92 0 y x x y        Q17 . ( ) a   tan tan tan 1 tan tan A B A B A B       1 1 tan 45 tan 30 3 1 3 tan15 tan 45 30 2 3 1 1 tan 45 tan 30 3 1 1 3                     2 1 tan 1 tan 2 tan x x x          2 2 2 1 tan 1 sec 1 sec 1 tan tan tan 1 cos sin 2sin 2 2sin cos 2 2 tan 2 x x x R H S x x x x x x x x x L H S                                     AL/201 7 /10/ E - I -16 -        2 2 2 1 2 3 1 1 1 tan 15 1 tan 7 2 tan15 2 3 8 4 3 1 2 3 6 2 1 2 3 ( 6 2 1)(2 3) 6 2 3 2 3 2 2 1                                     1 1 1 cot 7 1 2 3 2 2 1 tan 7 2 2 6 2 1 4 2 3 3              ( ) b 3 3 sin cos sin cos 1 x x x x    2 2 (sin cos )(sin cos sin cos ) sin cos 1 0 (sin cos )(1 sin cos ) sin cos 1 0 (sin cos 1)(1 sin cos ) 0 sin cos 1 sin cos 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x or x x                   1 1 1 sin cos 2 2 2 x x   sin 2 2 x No solution   cos cos sin sin cos 4 4 4 x x                          cos cos 4 4 2 4 4 2 4 4 x x n n x n                              ( ) c Sine rule: In any ABC  , sin sin in a b c A B s C   Let sin sin in a b c k A B s C    in sin ( ) sin in sin sin a b ks A k B i c k C s A B C      AL/201 7 /10/ E - I -17 -   2 in cos 2 2 2 in cos 2 2 in cos 2 2 2 in cos 2 2 in sin 2 2 in cos 2 2 in 2 cos 2 A B A B s C C s A B C s A B C C C s A B C s C C s A B s C                                                                                                      cos sin 2 2 C A B a b c           tan tan ( ) tan tan sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin sin( ) sin sin sin( ) sin sin( ) sin( ( )) sin sin( ) sin A B c b ii A B c A B k C k B A B A B k C A B A B B A C B A B B A C A B C B A B C A B A B B A B C C C                             sin( ) sin( ) sin sin sin( ) sin( ) sin 2sin cos sin (2 cos 1) 0 1 cos ( sin 0) 2 60 A B A B B B A B A B B B A B A A B A                 AL/201 7 /10/ E - I -18 - gFjp - A  Q1 . ( ) 7 2 n n f n   vd;f. 1 n  ,w;F 1 1 (1) 7 2 5 5 1 f      1 n   ,w;F KbT cz;ik. n p    ,w;F KbT cz;ik vd;f. ( ) 7 2 5 p p f p k    ( ) k   1 n p   ,w;F 1 1 ( 1) 7 2 p p f p      ( 1) 7.7 2.2 p p f p    ( 1) 7.(7 2 ) 5.2 p p p f p     ( 1) 7.5 5.2 p f p k    ( 1) 5.(7 2 ) 5 p f p k m     ( ) m   1 n p    ,w;F KbT cz;ik. fzpj njhFj;jwpT Nfhl;ghl;bd; gb vy;yh n   ,w;Fk; KbT cz;ik.  Q2 . 1, 3, 2 B A N    Mf;ff;$ba xOq;fikg;Gfspd; vz;zpf;if 6! 60 2! 3!    ,uz;L N IAk; xd;whf fUJf. Mf;ff;$ba xOq;fikg;Gfspd; vz;zpf;if 5! 2! 40 3!    ,U N ck; mLj;jLj;J ,y;yhj xOq;fikg;Gfs; 60 40 20     Q3 .       3 2 i a i a i         3 1 3 2 2 a i a a i          3 1 2 , 3 2 a a a        1 2 3 3 2 a                3 2 3 2 2 3 i i i                       2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 i i i i i                    2 3 3 1. cos sin 2 6 6 2 3 i i i i                                kl;L 1  >; 6 Arg z    AL/201 7 /10/T - I -2 -