1 SEXTA JORNADA DE EVALUACIÓN GENERAL MATEMÁTICA (ON LINE) 2020 2 PRUEBA TRANSICIÓN MATEMÁTICA INSTRUCCIONES Esta prueba consta de 65 preguntas, de las cuales 60 serán consideradas para el cálculo de puntaje y 5 serán usadas para experimentación y por lo tanto, no se considerarán en el puntaje final de la prueba. Cada pregunta tiene cuatro (4) o cinco (5) opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta. DISPONE DE 2 HORAS Y 20 MINUTOS PARA RESPONDERLA. INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. Las figuras que aparecen en la prueba son solo indicativas. 2. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares. 3. El intervalo [p, q] es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a p y menores o iguales a q; el intervalo ]p, q] es el conjunto de todos los números reales mayores que p y menores o iguales a q; el intervalo [p, q[ es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a p y menores que q; y el intervalo ]p, q[ es el conjunto de todos los números reales mayores que p y menores que q. 4. En esta prueba, se considerará que v (a, b) es un vector que tiene su punto de inicio en el origen del plano cartesiano y su extremo en el punto (a, b), a menos que se indique lo contrario. 5. Se entenderá por dado común a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras obtenidas son equiprobables de salir. 6. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario. 3 INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Es así, que se deberá marcar la opción: A) (1) por sí sola , si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola , si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2) , si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) , si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional , si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. SÍMBOLOS MATEMÁTICOS es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es meno r o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo trazo AB logaritmo en base 10 pertenece a conjunto vacío valor absoluto de x es aproximado a factorial de x unión de conjuntos intersección de conjuntos complemento del conjunto A vector u     log   u ln      // AB  x   x!  A C 4 1. Al simplificar 3 1 4 + 3 + 0,4 se obtiene A) 51 73 B) 47 69 C) 49 71 D) 45 67 E) 53 75 2. ¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera? A) 2 1 -2       < 3 1 -2       < 4 1 -2       < 5 1 -2       B) 5 1 -2       < 4 1 -2       < 3 1 -2       < 2 1 -2       C) 5 1 -2       < 3 1 -2       < 4 1 -2       < 5 1 -2       D) 3 1 -2       < 5 1 -2       < 2 1 -2       < 4 1 -2       E) 3 1 -2       < 5 1 -2       < 4 1 -2       < 2 1 -2       3. Sofía decidió salir a trotar alrededor de una plaza cuadrada representada en la figura adjunta. Ella partió del punto P en el sentido indicado por la flecha y se detuvo en uno de los 5 puntos indicados en la figura. Si recorrió 2 3 5 veces el perímetro de la plaza, entonces Sofía se detuvo A) en el punto A. B) en el punto B. C) en el punto C. D) en el punto D. E) en el punto E. P D A B C E 5 4. Tres garzones de una cafetería, se repartieron la propina recibida durante el día. El primero recibió 3 5 del total y el segundo recibió $ 5.600, ¿qué fracción del total recibió el tercero, si el monto que se repartieron fue de $ 24.000? A) 1 6 B) 5 23 C) 2 5 D) 5 7 E) 5 6 5. El 75% de M es igual al 50% de P. Si M = 40, ¿cuál es el 20% de P? A) 6 B) 8 C) 12 D) 18 E) 24 6. Una prueba de Matemática tenía 80 preguntas, de las cuales 30 eran de álgebra y las restantes de geometría. Si un estudiante que rindió la prueba contestó correctamente el 70% de las preguntas de álgebra y el 80% del total de las preguntas, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? A) Contestó correctamente el 80% de las primeras 40 preguntas. B) Contestó en forma incorrecta 21 preguntas de álgebra. C) Contestó correctamente el 86% de las preguntas de geometría. D) Contestó el 100% del total de preguntas de la prueba. 7. El valor de log (217,2) – log (21,72) es A) 1 B) 0 C) -1 D) log (195,48) E) log (217,2) log (21,72) 6 8. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) a c b b b a+c (5 ) =(5 ) para a, b y c enteros positivos. II) a 3 + b 3 = (a + b) 3 – 3ab(a - b) para a y b reales positivos. III) (3 2 ) a + a b 2 3 5  + (5 -1 ) 2b = 2 a b 1 3 + 5         A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III 9. La expresión 23 25 5 3 + 3 270 es igual a A) 70 B) 81 C) 92 D) 97 E) 103 10. ¿Cuál es el valor de x 2 , si se sabe que log 0,1 = x? A) 9 4 B) 1 4 C) 1 9 D) 1 2 E) 4 9 7 11. Los números m y n son enteros positivos. Se puede determinar que 0 < m n < 1, si se sabe que: (1) n 2 > m 2 (2) m – n < 0 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 12. Joaquín tenía en su billetera X billetes de Y dólares e Y billetes de X dólares. Fue a una casa de cambio y compró X billetes de X dólares e Y billetes de Y dólares colocándolos en su billetera. Ahora Joaquín tiene en su billetera A) (X + Y) 2 dólares B) (X – Y) 2 dólares C) (X 2 + Y 2 ) dólares D) (X 2 – Y 2 ) dólares 13. ¿Qué valor toma la expresión 3 3 2 2 a b a + ab + b  , cuando a = 93 y b = 92? A) 0 B) 1 C) 93 2 – 92 2 D) 185 E) 185 2 14. Una barra de chocolate es dividida entre Leticia, Bélgica y Antonia. Sabiendo que a Leticia le tocó 2 5 de la barra, Bélgica 1 4 y Antonia 70 gramos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA ? A) Leticia recibió 10 gramos más que Antonia. B) La mitad de la barra pesa 100 gramos. C) Bélgica recibió 30 gramos menos que Leticia. D) La que recibió la menor parte es Antonia. 8 15. Si a y b son números reales positivos, entonces la expresión 1 1 1 1 2 2 2 2 a + 2a b + b a 2a b + b                 es equivalente a A) (a + b) 2 B) (a – b) 2 C) 4ab D) a 2 – b 2 E) a 2 + b 2 16. ¿Para qué valor de x la igualdad 6 3 8 4 1 + x   = 0 es verdadera? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 17. Me encuentro viajando a un centro recreacional ubicado a algunos kilómetros de La Serena. Al detenerme a almorzar me percaté que había recorrido 1 3 de la distancia y después de almuerzo recorrí 5 9 más, deteniéndome para tomar once. Ahora que voy a reiniciar el viaje observé en el tablero del auto que he recorrido 400 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros habré recorrido al final del viaje? A) 450 kilómetros B) 500 kilómetros C) 550 kilómetros D) 600 kilómetros 18. Sabiendo que x e y son dos números reales que ha cen que la proposición “si x = 2, entonces y < 0” sea verdadera. Se puede concluir correctamente que A) si x  2, entonces y  0. B) si y = -1, entonces x = 2. C) si y  1000, entonces x  2. D) si x = 2, entonces y  0. 9 19. Si a, b y c números reales, ¿cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? A) Si a > b y ac > bc, entonces c = 1. B) Si a > b y ac > bc, entonces c  2. C) Si a < b y ac < bc, entonces c < 0. D) Si a < b y ac > bc, entonces c < 0. 20. Las edades en años de un niño (x) y su padre (y) son tales que 5  x  10 y 30  y  40. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El menor valor que puede tomar la expresión x y es 1 6 II) El mayor valor que puede tomar la expresión x y es 8. III) La diferencia positiva de las edades NO puede ser mayor a 35 años. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 21. Dado el sistema x + 2y = 1 3x 4y = 8  , entonces es verdad que A) x = -4y B) x = 2 – y C) y = 3 + x D) y = x 4 E) y = x 2 22. El cuadrilátero de la figura adjunta es un cuadrado de lado 6. El área del cuadrilátero achurado está representado por la expresión A) -x 2 + 6x – 18 B) -x 2 + 6x + 18 C) x 2 – 6x – 18 D) -x 2 – 6x + 18 E) x 2 + 6x – 18 6 x x x 10 23. De tres números enteros positivos a, b y c, con a < b < c, se sabe que el mayor de ellos es la suma de los otros dos y el menor es un cuarto del mayor. Si a – b + c = 30, entonces el valor de a + b + c es igual a A) 45 B) 60 C) 120 D) 150 E) 900 24. ¿Qué valor debe tener k, con k  2, para que en la ecuación (k – 2)x 2 – 3kx + 1 = 0 se cumpla que la suma y el producto de las raíces de esta ecuación de segundo grado tengan el mismo valor? A) - 1 3 B) 1 3 C) 2 3 D) 3 E) 3 2 25. Si v y w son las raíces (soluciones) de la ecuación cuadrática x 2 + ax + b = 0 en que a y b son coeficientes reales, entonces v 2 + w 2 es igual a A) a 2 – 2b B) a 2 + 2b C) a 2 – 2b 2 D) a 2 + 2b 2 26. Se desea construir una casa de planta cuya forma es un paralelogramo de ángulos rectos, como se indica en la figura adjunta. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo en que la casa será construida, sabiendo que su área debe ser máxima? A) 15 m y 15 m B) 20 m y 10 m C) 25 m y 5 m D) 17,5 m y 12,5 m E) 22,5 m y 7,5 m (30 – x) x 11 27. El gráfico adjunto muestra el resultado de una experiencia relativa a la absorción de potasio por el tejido de una hoja de cierto vegetal, en función del tiempo y en condiciones diferentes de luminosidad. En los dos casos la función lineal y = mx se ajusta razonablemente bien a los datos, siendo m la tasa de absorción. En base al gráfico, si m 1 es la tasa de absorción con luminosidad alta y m 2 es la tasa de absorción con luminosidad baja, ¿cuál de las siguientes es una relación correcta entre esas dos tasas? A) m 1 = 1,5 m 2 B) m 2 = 1 4 m 1 C) m 1 ∙ m 2 = -1 D) m 2 = 2m 1 E) m 1 = 2m 2 28. Si el dominio de la función f, definida por f(x) = 1 – 2x es el intervalo ]-3, 2], entonces el recorrido de esta función es A) ]-7, 3] B) [-3, 7[ C) ]-3, 7] D) [-3, 5[ E) ]-3, 3] 2 4 12 16 1 2 3 4 Tiempo (h) Potasio absorbido Luminosidad baja Luminosidad alta 12 29. Dada la función f(x) = x + 1 2 , con dominio el conjunto de los números reales, ¿cuál de los siguientes es el gráfico de su inversa f -1 (x)? A) B) C) D) 30. El sueldo de los operarios de una determinada fábrica, está compuesto por un sueldo base x más dos gratificaciones: una de $ 300.000 y la otra que es el 30% del sueldo base de cada operario. Si al sueldo de cada operario es descontado el 20% relativo a impuestos, salud y otros, entonces después de ese descuento, el valor S(x) que cada operario recibe, en función de x está dado por A) S(x) = 1,04x + 240.000 B) S(x) = 1,04x + 300.000 C) S(x) = 1,3x + 300.000 D) S(x) = 1,3x + 60.000 y x 2 1 y x y x - 2 1 y x - 2 1 13 31. El gráfico de la función f, indicado en la figura adjunta, está formado por tres segmentos de rectas que son partes de los gráficos de las siguientes funciones:  Una función constante definida por y = 4;  La función y = x;  Una función afín definida por y = -2x + 16. Sobre esta función f, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) f(6) ∙ f(8) = f(0) II) f(4) - f(3) = f(1) III) f(2) + f(3) = f(5) A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III 32. En la figura adjunta, la parábola es la gráfica de la función cuadrática f(x) = ax 2 + bx + c, en que a, b y c son constantes reales. De acuerdo a la información entregada, ¿cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? A) a ∙ b ∙ c < 0 B) a < 0 y c > 0 C) 4ac > b 2 D) b < 0 y c < 0 E) b > 0 y c > 0 y x 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 x y x 1 x 2 14 33. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), respecto de la función cuadrática y = 2x 2 - 3x + 1? I) Los ceros de la función son 1 y 1 2 II) La suma de las coordenadas del vértice de la parábola es igual a 5 8 III) El valor mínimo que toma la función es - 1 8 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 34. Sean f y g dos funciones que tienen por dominio el conjunto de los números reales y definidas por f(x) = x 3 y g(x) = -x 4 . Es correcto afirmar que las gráficas de estas funciones A) se intersectan en 1 punto. B) se intersectan en 2 puntos. C) se intersectan en 3 puntos. D) se intersectan en 4 puntos. E) nunca se intersectan. 35. La grafica de la función afín y = mx + b pasa por el punto (1, c). Se puede determinar el valor de c, si se sabe que: (1) m = 2 (2) la gráfica pasa por el punto (-3, 2). A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 15 36. Sean los vectores a y b. Si a + b = (-4, -1) y 2a – b = (7, -2), ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) a se ubica en el cuarto cuadrante. II) b se ubica en el eje de las abscisas. III) b – a se ubica en el segundo cuadrante. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 37. En el plano cartesiano, el punto P tiene coordenadas (5, -5) y el punto Q tiene coordenadas (-5, 5). Al respecto, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Q es reflexión de P respecto del origen. II) P es reflexión de Q respecto del eje y. III) Q es reflexión de P respecto de la recta y = x. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III 38. El punto P’ resultó de la rotación de 90° en sentido antihorario y en torno al origen del punto P(m – 1, n + 1). ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) La ordenada de P’ es 1 – m. II) La abscisa de P’ es – n – 1. III) La suma de las coordenadas de P’ es – m – n. A) Solo I B) Solo II C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas 16 39. En el triángulo PQR de la figura adjunta PQ , RS y SP miden 9 cm, 10 cm y 2 cm, respectivamente. ¿Cuál es el área del cuadrilátero PQTS? A) 38 cm 2 B) 36 cm 2 C) 34 cm 2 D) 32 cm 2 E) 30 cm 2 40. El trapecio de la figura adjunta está formado por dos triángulos y dos cuadrados, cuyas áreas aparecen indicadas. ¿Cuál es el valor de x? A) 2 b b a  B) b b a  C) a b b  D) 2 a a b  E) 2 a b b  P Q R T S área a 2 área b 2 x 17 41. En la figura adjunta, el cuadrilátero EFGH es un rectángulo inscrito en el cuadrado ABCD. Si el triángulo EBF es isósceles, ¿cuál(es) de las siguientes parejas no están formadas por triángulos semejantes? I) Triángulo HGD y triángulo EAH. II) Triángulo GFC y triángulo FEB. III) Triángulo FCG y triángulo GHE. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III 42. La distancia en línea recta entre dos ciudades A y B es de 72 kilómetros. Esa distancia aparece representada en un plano por un segmento que mide 3,6 centímetros. ¿Cuál es la escala con la que está hecho este plano? A) 1 : 20.000 B) 1 : 120.000 C) 1 : 200.000 D) 1 : 1.200.000 E) 1 : 2.000.000 43. La figura adjunta corresponde a una lata de bebida de forma cilíndrica. El volumen V de un cilindro se determina mediante la fórmula V =  r 2 h, en que r es el radio de la base y h la altura. Si el fabricante desea duplicar el volumen de esta lata, entonces es correcto afirmar que él deberá A) multiplicar el radio por dos. B) multiplicar la altura por dos. C) multiplicar la altura por raíz de dos. D) adicionar dos unidades al valor del radio. A B D C E F H G 18 44. Una razón de semejanza r se diferencia de una razón de homotecia k en que para r NO se puede cumplir que A) r = 0,125 B) r – 2 = 0 C) 0 < r < 1 D) 1,1 < r < 1,9 E) -1 < r < 0 45. Los cuadriláteros PQRS y ABCD de la figura adjunta son homotéticos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Los ángulos BCD y QRS tienen igual medida. II) El centro de homotecia se ubica a la izquierda de AB III) Si la razón de homotecia k se encuentra entre 0 y 1, entonces la figura original es PQRS. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III 46. Se define en el plano cartesiano “punto red” como el punto que tiene por coordenadas números enteros. Respecto al triángulo formado por los ejes coordenados y la recta de ecuación y = -3x + 3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Los vértices del triángulo son puntos red. II) En el interior del triángulo no hay puntos red. III) Uno de los catetos tiene más puntos red que la hipotenusa. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III P Q S R A D C B 19 47. La pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas 1 0, m       y 1 , 0 m        es igual a A) 2 m B) 2 1 m C) m D) -1 E) 1 48. El punto P(t, t + 4) pertenece a la recta L de la figura adjunta. ¿Cuál es el valor de t? A) 35 4 B) 35 3 C) 10 D) 14 E) 18 49. Para que los puntos A(1, 2) y B(2, -1) pertenezcan a la gráfica de la función afín f(x) = ax + b, el valor de b – a debe ser A) -8 B) -2 C) 2 D) 4 E) 8 2 1 1 2 3 - 1 - 2 - 1 - 2 - 3 x y L 20 50. La recta M de la figura adjunta corta al eje x en el punto de abscisa A) 8 – 3a B) 3a – 8 C) 5a D) -3a – 8 E) -5a 51. En el triángulo ABC de la figura adjunta se puede determinar que el triángulo AED es semejante con el triángulo BCE, si se sabe que: (1) el triángulo ABC es rectángulo en C. (2) el triángulo ECD es rectángulo en D. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 52. La media aritmética de 18, 20, 22, m, n y p es 24. ¿Cuál es la media aritmética de m, n y p? A) 26 B) 28 C) 30 D) 32 E) Ninguna de las anteriores D A E B C 3 2 4 a M x y

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