טענה 1.43 (אי - שוויון ברנולי) : לכל 𝑥 ∈ ℝ המקיים 𝑥 ≥ −1 ולכל מספר טבעי n מתקיים: (1 + x) n ≥ 1 + nx הוכחה : נקבע את x ונוכיח באינדוקציה על n עבור n = 1 מתקיים שוויון בין שני האגפים. נניח כי אי - השוויון מתקיים עבור n מכיוון ש - 𝑥 ≥ −1 , מתקיים 1 + 𝑥 ≥ 0 , לכן ניתן להכפיל את שני האגפים ב - 1 + 𝑥 . מתקבל: (1 + x)(1 + x) n ≥ (1 + x)(1 + nx) (1 + x) n+1 ≥ (1 + x)(1 + nx) = 1 + x + nx + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 מכיוון ש - nx 2 > 0 : (1 + x) n+1 ≥ 1 + (n + 1)x לכן אי - השוויון מתקיים עבור n + 1 , וצעד האינדוקציה הושלם. טענה 1.47 : לכל קבוצה סופית ולא ריקה של מספרים ממשיים יש מינימום ומקסימום. הוכחה : נוכיח את קיום המקסימום , הוכחת המינימום דומה. ההוכחה היא באינדוקציה על מספר האיברים בקבוצה. אם A קבוצה בעלת איבר אחד, איבר זה הוא המקסימום. אם הטענה נכונה עבור קבוצה בעלת n איברים, ו - A = {x 1 , x 2 , ... , x n+1 } נקבל לפי הנחת האינדוקציה שלקבוצה {x 1 , x 2 , ... , x n } יש מקסימום. אם x n+1 > max{x 1 , x 2 , ... , x n } אז x n+1 הוא המקסימום של A , ואם x n+1 ≤ max{x 1 , x 2 , ... , x n } אז max{x 1 , x 2 , ... , x n } הוא המקסימום של A משפט 2.12 : אם סדרה (a n ) n=1 ∞ מתכנסת ל - 𝐿 1 וגם ל - 𝐿 2 אז 𝐿 1 = 𝐿 2 הוכחה : נניח ב שלילה 𝐿 1 ≠ 𝐿 2 יהי 𝜀 = 𝐿 1 +𝐿 2 3 > 0 (a n ) מתכנסת ל - 𝐿 1 , לכן קיים 𝑁 1 כך שלכל n > N 1 : |a n − 𝐿 1 | < ε (a n ) מתכנסת ל - 𝐿 2 , לכן קיים 𝑁 2 כך שלכל n > N 2 : |a n − 𝐿 2 | < ε יהי N = max{N 1 , N 2 } + 1 , לכל n > N מתקיים : |a n − 𝐿 1 | < ε , |a n − 𝐿 2 | < ε נשתמש באי - שוויון המשולש: |𝐿 1 − 𝐿 2 | ≤ |𝐿 1 − a n | + |a n − 𝐿 2 | < 𝜀 + 𝜀 = 2𝜀 < 3𝜀 = |𝐿 1 − 𝐿 2 | קיבלנו סתירה, ולכן 𝐿 1 = 𝐿 2 משפט 2.16 : כל סדרה מתכנסת היא חסומה. הוכחה : תהי (a n ) n=1 ∞ סדרה מתכנסת ויהי 𝐿 גבולה. יהי 𝜀 = 1 , על פי הגדרת הגבול, קיים N כך שלכל n > N , |a n − 𝐿| < 1 לכן ל פי אי - שוויון המשולש לכל n > N : |a n | = |(a n − 𝐿) + 𝐿| ≤ |a n − 𝐿| + |𝐿| < 1 + |𝐿| נגדיר: M = max{|a 1 |, |a 2 |, ... , |a n |, |L|} + 1 על פי הגדרת M ומה שכבר הוכחנו, לכל n טבעי מתקיים |a n | < M משפט 2.22 : מכפלה של סדרה אפסה וסדרה חסומה היא אפס ה. הוכחה : תהי (a n ) n=1 ∞ סדרה אפסה ו - (b n ) n=1 ∞ סדרה חסומה. מכיוון ש - b n חסומה, קיים M > 0 כך שלכל n , |b n | < M י הי 𝜀 > 0 , קיים N כך שלכל n > N , מתקיים |a n | < ε M ל כן, לכל n > N מתקיים |a n b n − 0| = |a n ||b n | < ε M ⋅ M = ε כלומר lim n→∞ a n b n = 0 למה 2.26 : אם (b n ) n=1 ∞ סדרה מתכנסת המקיימת lim n→∞ b n ≠ 0 אז כמעט לכל n , b n ≠ 0 הוכחה : נסמן lim n→∞ b n = L . על פי ההנחה, L ≠ 0 יהי ε = |L| > 0 לפי הגדרת הגבול, קיים N כך שלכל n > N מתקיים: |b n − L| < |L| בפרט, לכל n > N מתקיים b n ≠ 0 (כי אם b n = 0 אז |b n − L| = |L| .) לפיכך, b n ≠ 0 כמעט לכל n משפט 2.32 (משפט הסנדוויץ') : תהיינה (a n ) n=1 ∞ , (b n ) n=1 ∞ , (c n ) n=1 ∞ שלוש סדרות, עבורן מתקיימים התנאים הבאים: א לכל n , או כמעט לכל n , a n ≤ b n ≤ c n ב הסדרות החיצוניות (a n ) n=1 ∞ , (c n ) n=1 ∞ מתכנסות. ג גבולותיהן שווים: lim n→∞ a n = lim n→∞ c n אז גם הסדרה האמצעית b n מתכנסת ומתקיים: lim n→∞ a n = lim n→∞ b n = lim n→∞ c n הוכחה : מספיק להוכיח לכל n נסמן: lim n→∞ a n = lim n→∞ c n = L , ונוכיח כי lim n→∞ b n = L יהי 𝜀 > 0 , קיים 𝑁 1 כך שלכל n > N 1 : L − ε < a n < L + ε ו קיים 𝑁 2 כך שלכל n > N 2 : L − ε < c n < L + ε יהי N = max{N 1 , N 2 } . לכל n > N מתקיים: L − ε < a n ≤ b n ≤ c n < L + ε ולכן L − ε < b n < L + ε משפט 2.34 : לכל 𝑎 > 0 , lim n→∞ √a n = 1 הוכחה : נניח ש - 𝑎 ≥ 1 , נסמן a n = √a n − 1 ע"פ אי - שוויון ברנולי, a = ( √a n ) n = ( √a n − 1 + 1) n = (a n + 1) n ≥ 1 + na n > na n לכן 0 ≤ a n < a n , וע"פ משפט ה סנדוויץ ' , lim n→∞ a n = 0 לכן, lim n→∞ √a n = lim n→∞ (1 + a n ) = 1 + lim n→∞ a n = 1 כנדרש. עבור 0 < 𝑎 < 1 . מכיוון ש - 1 𝑎 > 1 : lim n→∞ 1 √a n = lim n→∞ √ 1 a n = 1 ועל פי אריתמטיקה של גבולות: lim n→∞ √a n = 1 lim n→∞ 1 √a n = 1 1 = 1 משפט 2.43 (ה) – כלל " 1 ∞ " : אם a n n→∞ → ∞ אז 1 a n n→∞ → 0 הוכחה : לכל 𝜀 > 0 , היות ש - a n n→∞ → ∞ , קיים N טבעי כך שלכל n > N מתקיים: a n > 1 ε לפיכך, לכל n > N מתקיים 0 < 1 a n < ε , ובוודאי | 1 a n | < ε לכן, לפי הגדרת הגבול: lim n→∞ 1 a n = 0 טענה 2.47 : תהי (a n ) n=1 ∞ סדרה, השונה מ - 0 , ויהי 0 < r < 1 מספר ממשי. אם מתקיים כמעט לכל n , | a n+1 a n | ≤ r אז lim n→∞ a n = 0 הוכחה : נטפל ראשית במקרה שבו אי - השוויון מתקיים לכל n . נרשום אותו בצורה הבאה: |a n+1 | ≤ r|a n | . מתקיים: |a 2 | ≤ r|a 1 | |a 3 | ≤ r|a 2 | ≤ r 2 |a 1 | |a 4 | ≤ r|a 3 | ≤ r 2 |a 2 | ≤ r 3 |a 1 | ובאינדוקציה קל להוכיח: |a n | ≤ |a 1 |r n−1 = |a 1 | r r n לכן, 0 ≤ |a n | ≤ |a 1 | r r n מכיוון ש - lim n→∞ r n = 0 (ע"פ שאלה 20 ביחידה 2 ), ע"פ משפט הסנדוויץ': lim n→∞ |a n | = 0 וכן, lim n→∞ a n = 0 במקרה הכללי, אם | a n+1 a n | ≤ r מתקיים כמעט לכל n , אז לפי משפט 2.29 מתקיים גם לכל n טענה 3.10 : תהיינה 𝐴, 𝐵 קבוצות חסומות מלעיל ולא ריקות של מספרים ממשיים. אז: sup(𝐴 + 𝐵) = sup𝐴 + sup𝐵 הוכחה : נסמן: s A = supA, s B = supB מכיוון ש - s A ו - s B חסמים מלעיל מההגדרה, לכל a ∈ A ו - b ∈ B מתקיים: a ≤ s A ו - b ≤ s B ולכן: a + b ≤ s A + s B מכאן, s A + s B הוא חסם מלעיל של הקבוצה 𝐴 + 𝐵 . נשתמש בטענה 3.9 כדי להראות ש - s A + s B הוא החסם העליון של קבוצה זו. יהי אפוא 𝜀 > 0 . נוכיח שקיים בקבוצה 𝐴 + 𝐵 איבר גדול מ - s A + s B − ε לשם כך, נבחר a ∈ A המקיים a > s A − ε 2 ו - b ∈ B המקיים b > s B − ε 2 . נחבר: a + b > s A + s B − ε בכך הראנו שהתנאים באפיון החסם העליון מתקיימים ולכן: sup(𝐴 + 𝐵) = s A + s B = sup𝐴 + sup𝐵 משפט 3.16 : כל סדרה מונוטונית וחסומה היא מתכנסת. אם (a n ) עולה וחסומה אז lim n→∞ a n = sup{a n |n ∈ ℕ} אם (a n ) יורדת וחסומה אז lim n→∞ a n = inf{a n |n ∈ ℕ} הוכחה : תהי (a n ) סדרה עולה וחסומה. הקבוצה {a n |n ∈ ℕ} אינה ריקה (למשל a 1 איבר של הקבוצה) וחסומה מלעיל, ל כן יש לה חסם עליון. נסמן: L = sup{a n |n ∈ ℕ} , ונוכיח כי lim n→∞ a n = L יהי 𝜀 > 0 , ע"פ הגדרת החסם העליון, 𝐿 − 𝜀 אינו חסם מלעיל של {a n |n ∈ ℕ} , ולכן קיים N ∈ ℕ כך ש - a N > L − ε מכיוון שהסדרה עולה, לכל n > N מתקיים a n > a N , ולכן a n > L − ε כמו כן, מהגדרת 𝐿 נובע: a n ≤ L קיבלנו שלכל n > N מתקיים L ≥ a n > L − ε , ובוודאי: L + ε > a n > L − ε ובזאת הוכחנו כי lim n→∞ a n = L , ובפרט הסדרה (a n ) מתכנסת. משפט 3.17 : סדרה עולה ולא חסומה שואפת לאינסוף; סדרה יורת ולא חסומה שואפת למינוס אינסוף. הוכחה : תהי (a n ) סדרה עולה ולא חסומה. נוכיח ע"פ ההגדרה ש - lim n→∞ a n = ∞ לכל L , הוא לא חסם מלעיל של {a n |n ∈ ℕ} , כי אם כן, היה מתקיים לכל n טבעי a 1 ≤ a n ≤ L והסדרה הייתה חסומה. לפיכך, קיים N המקיים a N > L . לכל n > N טבעי, מתקיים a n ≥ a N > L , כנדרש בהגדרה של שאיפת סדרה לאינסוף. משפט 3.22 (הלמה של קנטור) : תהי (I n ) n=1 ∞ סדרה של קטעים סגורים , I n = [a n , b n ] , המקיימים את התנאים הבאים: 1 כל קטע מכיל את הקטע הבא אחריו: 𝐼 1 ⊇ 𝐼 2 ⊇ 𝐼 3 ⊇ ⋯ 2 אורך הקטע I n שואף לאפס: lim n→∞ (b n − a n ) = 0 אז קיימת נקודה אחת ויחידה x = lim n→∞ a n = lim n→∞ b n הוכחה : לכל n טבעי מתקיים [a n , b n ] ⊇ [a n+1 , b n+1 ] . בפרט, הנקודות a n+1 , b n+1 שייכות ל - [a n , b n ] , לכן a n ≤ a n+1 ≤ b n+1 ≤ b n ו מכאן (a n ) n=1 ∞ עולה, ו - (b n ) n=1 ∞ יורדת. כל הקטעים I n מוכלים ב - [a 1 , b 1 ] , לכן הסדרות חסומות ומ משפט 3.16 , הסדרות מתכנסות. מהנתון : lim n→∞ b n − lim n→∞ a n = lim n→∞ (b n − a n ) = 0 , כלומר lim n→∞ a n = lim n→∞ b n , נסמן ערך זה ב - x לפי משפט 3.16 מתקיים x = sup{a n |n ∈ ℕ} = inf{b n |n ∈ ℕ} . לכן, לכל n טבעי, a n ≤ x ≤ b n כלומר, x שייך לכל הקטעים I n נניח ש - y ∈ I n לכל n , הרי a n ≤ y ≤ b n ולכן ממשפט הסנדוויץ' נובע ש - y = lim n→∞ y = lim n→∞ a n = x כנדרש. משפט 3.27 (אפיון גבולות חלקיים) : L הוא גבול חלקי של הסדרה (a n ) אם"ם לכל 𝜀 > 0 יש אינסוף ערכי n עבורם מתקיים: |a n − 𝐿| < ε הוכחה : כיוון ראשון : נניח כי L הוא גבול חלקי של (a n ) ותהי (a n k ) k=1 ∞ תת - סדרה המתכנסת ל - L לכל 𝜀 > 0 קיים מספר טבעי 𝐾 , כך שלכל 𝑘 > 𝐾 מתקיים |a n k − 𝐿| < ε . לכן הקבוצה {n K+1 , n K+2 , n K+3 , ... } היא קבוצה אינסופית של ערכי n המקיימים את התנאי |a n − 𝐿| < ε כנדרש. כיוון שני : נניח שמתקיים התנאי שבמשפט, ונבנה תת - סדרה המתכנסת ל - L עבור ε = 1 , קיימים אינסוף ערכי n עבורם |a n − 𝐿| < 1 , יהי n 1 אחד הערכים האלה. עבור ε = 1 2 , קיימים אינסוף ערכי n עבורם |a n − 𝐿| < 1 2 , ולכן קיים n 2 > n 1 המקיים: |a n 2 − 𝐿| < 1 2 ... באופן דומה עבור ε = 1 𝑘 נבחר n k המקיים: |a n k − 𝐿| < 1 k וגם n k > n k−1 הגדרנו סדרת אינדקסים (n k ) המגדירה תת - סדרה (a n k ) , כך ש לכל 𝑘 מתקיים 𝐿 − 1 𝑘 < a n k < L + 1 𝑘 , וע"פ משפט הסנדוויץ': a n k 𝑘→∞ → 𝐿 לכן 𝐿 הוא גבול חלקי של הסדרה (a n ) משפט 3.32 (בולצאנו - ויירשטראס) : לכל סדרה חסומה יש תת - סדרה מתכנסת. הוכחה : תהי (x n ) n=1 ∞ סדרה חסומה. קיימים מספרים ממשיים a < b כך שכל איברי הסדרה נמצאים בקטע [a, b] נבנה סדרת קטעים יורדת (I n = [a n , b n ]) n=1 ∞ באופן הבא: 1 הקטע הראשון הוא I 1 = [a 1 , b 1 ] = [a, b] 2 אם הוגדר הקטע I n , נחלק אותו לשני קטעים שווים ע"י נקודת האמצע m n = a n +b n 2 ונקבל את הקטעים [a n , m n ], [m n , b n ] , לפחות אחד מהם מכיל אינסוף איברי (x n ) , נבחר קטע כזה ונסמן אותו ב - I n+1 = [a n+1 , b n+1 ] סדרת ה קטעים (I n = [a n , b n ]) n=1 ∞ שהגדרנו מקיימת את התנאים הבאים: 1 כל קטע מכיל את הקטע שבא אחריו. 2 האורך של כל קטע הוא חצי מהאורך של הקטע הק ו דם לו. בפרט, אורך הקטע I n הוא b−a 2 n−1 ולכן שואף לאפס. 3 בכל אחד מהקטעים יש אינסוף מאיברי הסדרה (x n ) n=1 ∞ לכן, על פי הלמה של קנטור קיימת נקודה אחת משותפת לכל הקטעים כך ש - lim n→∞ a n = lim n→∞ b n = L כ עת נבנה תת - סדרה (x n k ) של (x n ) המתכנסת ל - L . נגדיר את סדרת האינדקסים n k באופן רקורסיבי: א n 1 = 1 ב אם כבר הוגדר n k−1 , נבחר את n k כך ש - x n k ∈ I k , ו - n k > n k−1 . בחירה זו אפשרית כיוון שיש אינסוף אינדקסים n המקיימים x n ∈ I k באופן זה התקבלה תת - סדרה (x n k ) המקיימת a k ≤ x n k ≤ b k , לכן על פי משפט הסנדוויץ' lim k→∞ x n k = L כלומר יש ל - (x n ) תת - סדרה מתכנסת. משפט 4 3.3 : סדרה חסומה (a n ) n=1 ∞ היא סדרה מתכנסת אם"ם יש לה גבול חלקי יחיד. הוכחה : כיוון ראשון : ע"פ משפט 3.25 , לסדרה מתכנסת יש גבול חלקי יחיד, השווה לגבול הסדרה. כיוון שני : נניח שיש ל - (a n ) גבול חלקי יחיד L , נניח ב שלילה שלכל 𝜀 > 0 קיימת קבוצה אינסופית של ערכי n עבורם: |a n − L| ≥ ε , כלומר, a n ≥ L + ε או a n ≤ L − ε , נוכיח עבור a n ≥ L + ε אז יש תת - סדרה (a n k ) k=1 ∞ (שגם היא חסומה) שכל איבריה מקיימים: a n k ≥ L + ε , ל פי בולצאנו - ויירשטראס, יש לה תת - סדרה מתכנסת, (a n kl ) l=1 ∞ מכיוון שגם איברי הסדרה מקיימים a n kl ≥ L + ε , מתקיים גם: lim l→∞ a n kl ≥ L + ε , בסתירה לכך ש - L הוא הגבול החלקי היחיד של (a n ) משפט 3.36 (קריטריון קושי להתכנסות סדרה) : סדרה (a n ) n=1 ∞ מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי. הוכחה : כיוון ראשון : תהי (a n ) סדרה מתכנסת, נסמן lim n→∞ a n = L לכל 𝜀 > 0 קיים, N כך שלכל m, n > N מתקיים: |a m − L| < ε 2 , |a n − L| < ε 2 ל פ י אי - שוויון המשולש: |a n − a m | = |(a n − L) − (L − a m )| ≤ |a n − L| + |a m − L| < ε 2 + ε 2 = ε לפיכך, תנאי קושי מתקיים. כיוון שני : תהי (a n ) סדרת קושי , עבור ε = 1 קיים N כך שלכל m, n > N מתקיים |a n − a m | < 1 בפרט, לכל m > N מתקיים |a m − a N+1 | < 1 , לכן: |a m | = |(a m − a N+1 ) + a N+1 | ≤ |a m − a N+1 | + |a N+1 | < 1 + |a N+1 | לכן, לכל m מתקיים: |a m | < 1 + max{|a 1 |, |a 2 |, ... , |a N |, |a N+1 |} והסדרה חסומה. יהי 𝜀 > 0 , מכיוון ש - (a n ) חסומה, ע"פ בולצאנו - ויירשטראס ( 3.32 ) יש לה גבול חלקי אחד לפחות , ו יהי L גבול חלקי של (a n ) , לכן ע"פ משפט 3.27 קיים n 0 > N המקיים |a n 0 − L| < ε 2 (יש אינסוף ערכי n עבורם |a n − L| < ε 2 ) מכיוון ש - (a n ) סדרת קושי, קיים N כך שלכל m, n > N מתקיים |a m − a n | < ε 2 ובפרט לכל m > N מתקיים: |a m − a n 0 | < ε 2 (כי n 0 > N ) ולכן ע"פ אי - שוויון המשולש: |a m − L| = |(a m − a n 0 ) + (a n 0 − L)| ≤ |a m − a n 0 | + |a n 0 − L| < ε 2 + ε 2 = ε בכך הוכחנו ש - a n n→∞ → L כלומר, סדרה מתכנסת. למה 3.37 (גבול סדרת גבולות חלקיים) : תהי (a n ) , אם סדרת ה גבולות חלקיים שלה x k k→∞ → L , אז גם L הוא גבול חלקי של (a n ) הוכחה : נסמן lim k→∞ x k = L יהי 𝜀 > 0 ויהי 𝑘 0 המקיים |x 𝑘 0 − L| < ε 2 . היות ש - x 𝑘 0 גבול חלקי של (a n ) , יש ∞ ערכי n המק יי מים |a n − x 𝑘 0 | < ε 2 , ל כל n כזה מתקיים: |a n − L| ≤ |a n − x 𝑘 0 | + |x 𝑘 0 − L| < ε 2 + ε 2 = ε ו לפי משפט 3.27 L הוא גבול חלקי של (a n ) משפט 4.30 : הגדרת הגבול ע"פ היינה שקולה להגדרת הגבול בלשון 𝜀 − 𝛿 הוכחה : כיוון ראשון : תהי f המוגדרת בסביבה נקובה של x 0 , נניח ש - f(x) x→x 0 → L ע"פ הגדרת הגבול בלשון 𝜀 − 𝛿 יהי 𝜀 > 0 , קיים δ > 0 כך שלכל 𝑥 ∈ 𝑁 𝛿 ∗ (x 0 ) מתקיים f(x) ∈ N ε (L) תהי (x n ) סדרה המקיימת x n n→∞ → x 0 וגם x n ≠ x 0 לכל n , קיים N כך שלכל n > N מתקיים x n ∈ 𝑁 𝛿 ∗ (x 0 ) לפיכך , לכל n > N מתקיים f(x n ) ∈ N ε (L) , לכן f(x n ) n→∞ → L לכל סדרה (x n ) העונה על התנאים ולכן f(x) x→x 0 → L לפי היינה. כיוון שני : נניח ש - f(x) X→x 0 → L ע"פ הגדרת היינה נניח בשלילה שקיים 𝜀 0 > 0 , כך ש לכל 𝛿 > 0 קיים x המקיים x ∈ 𝑁 𝛿 ∗ (x 0 ) וגם f(x) ∉ N ε 0 (L) באופן זה, נבנה סדרה (x n ) n=1 ∞ . לכל n ולכל 𝛿 = 1 𝑛 נבחר x n מתאים, המקיים x n ∈ 𝑁 1 𝑛 ∗ (x 0 ) וגם f(x n ) ∉ N ε 0 (L) מכיוון ש - x n ∈ 𝑁 1 𝑛 ∗ (x 0 ) , מתקיים: x 0 − 1 n < x n < x 0 + 1 n , ועל פי משפט הסנדוויץ x n n→∞ → x 0 , לפי היינה כל תת - סדרה מקיימת f(x n ) n→∞ → L זאת בסתירה לכך ש - f(x n ) ∉ N ε 0 (L) לכל n לכן f(x) X→x 0 → L גם על פי ההגדרה בלשון 𝜀 − 𝛿 משפט 4.39 (גבול של פונקציית הרכבה 1 ) : תהיינה f(x) ו - g(t) פונקציות המקיימות את התנאים הבאים: א קיים הגבול lim x→x 0 f(x) = L ב מתקיים lim 𝑡→𝑡 0 𝑔(𝑥) = x 0 ג יש סביבה נקובה של t 0 אשר מתקיים בה g(t) ≠ x 0 אז מתקיים lim 𝑡→𝑡 0 𝑓(𝑔(𝑡)) = L הוכחה : לפי א' קיים 𝛿 1 > 0 כך ש - f מוגדרת בסביבה הנקובה 𝑁 𝛿 1 ∗ (x 0 ) לפי ב' קיים 𝛿 2 > 0 כך שלכל 𝑡 ∈ 𝑁 𝛿 2 ∗ (t 0 ) מתקיים g(t) ∈ 𝑁 𝛿 1 (x 0 ) לפ י ג', קיים 𝛿 3 > 0 כך שלכל 𝑡 ∈ 𝑁 𝛿 3 ∗ (t 0 ) מתקיים g(t) ≠ x 0 יהי δ 4 = min{𝛿 2 , 𝛿 3 } , ולכל 𝑡 ∈ 𝑁 𝛿 4 ∗ (t 0 ) מתקיים g(t) ∈ 𝑁 𝛿 1 (x 0 ) וגם g(t) ≠ x 0 , כלומר g(t) ∈ 𝑁 𝛿 1 ∗ (x 0 ) לפיכך, f ∘ g מוגדרת בסביבה הנקובה 𝑁 𝛿 4 ∗ (t 0 ) תהי (t n ) לפי היינה כך ש - t n n→∞ → t 0 וגם t n ≠ t 0 לכל n קיים N כך שלכל 𝑛 > N מתקיים t n ∈ 𝑁 𝛿 4 ∗ (t 0 ) וגם g(t n ) ≠ x 0 לכן lim n→∞ g(t n ) = x 0 ו לכן lim n→∞ f(g(t n )) = L , ו לכן לפי היינה lim 𝑡→𝑡 0 𝑓(𝑔(𝑡)) = L משפט 5.14 (גבול של פונקציית הרכבה 2 ) : תהיינה f(x) ו - g(t) פונקציות שעבורן מתקיים: א f רציפה בנקודה x 0 ב קיים הגבול lim 𝑡→𝑡 0 𝑔(𝑥) = x 0 בתנאים אלו מתקיים lim 𝑡→𝑡 0 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑡) = f(x 0 ) = lim x→x 0 f(x) הוכחה : לפי א', קיים 𝛿 1 > 0 כך ש - 𝑓 מוגדרת ב - 𝑁 𝛿 1 (x 0 ) לפי ב', קיים 𝛿 2 > 0 כך שלכל 𝑡 ∈ 𝑁 𝛿 2 ∗ (t 0 ) מתקיים g(t) ∈ 𝑁 𝛿 1 (x 0 ) לפיכך, לכל 𝑡 ∈ 𝑁 𝛿 2 ∗ (t 0 ) מוגדר f(g(t)) תהי (t n ) לפי היינה כך ש - t n n→∞ → t 0 וגם t n ≠ t 0 לכל n קיים N כך שלכל 𝑛 > N מתקיים t n ∈ 𝑁 𝛿 2 ∗ (t 0 ) וגם g(t n ) ≠ x 0 לכן lim n→∞ g(t n ) = x 0 ו לכן lim n→∞ f(g(t n )) = L , ו לכן לפי היינה lim 𝑡→𝑡 0 𝑓(𝑔(𝑡)) = L משפט 5.15 : אם 𝑔 רציפה ב - t 0 ואם f רציפה ב - x 0 , כאשר x 0 = g(t 0 ) , אז 𝑓 ∘ 𝑔 רציפה ב - t 0 הוכחה : היות ש - 𝑔 רציפה ב - t 0 , lim 𝑡→𝑡 0 𝑔(𝑡) = 𝑔(𝑡 0 ) = x 0 . תנאי משפט 5.14 מתקיימים ולכן lim 𝑡→𝑡 0 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑡) = f(x 0 ) כלומר, lim 𝑡→𝑡 0 (𝑓 ∘ 𝑔)(t) = f(g(𝑡 0 )) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑡 0 ) לכן, 𝑓 ∘ 𝑔 רציפה ב - t 0 משפט 5.29 (משפט ערך הביניים) : אם f רציפה בקטע [a, b] ואם f(a) ⋅ f(b) < 0 , אז קיימת בקטע הפתוח (a, b) נקודה c כך ש - f(c) = 0 הוכחה: נ ניח f(a) > 0 > f(b) , יהי הקטע [a, b] , נראה כי קיימת נקודה c ∈ (a, b) כך ש - f(c) = 0 נבנה סדרת קטעים יורדת (I n = [a n , b n ]) n=1 ∞ באופן הבא: 1 הקטע הראשון הוא I 1 = [a 1 , b 1 ] = [a, b] 2 אם הוגדר הקטע I n , תהי m n = a n +b n 2 נקודת האמצע שלו. a אם f(m n ) = 0 , מצאנו את הנקודה כנדרש ובזאת הסתיימה ההוכחה. b אם f(m n ) > 0 , אז f(m n ) > 0 > f(b n ) ונגדיר a n+1 = m n כך ש - I n+1 = [a n+1 , b n+1 ] = [m n , b n+1 ] c אם f(m n ) < 0 , אז f(a n ) > 0 > f(m n ) ונגדיר b n+1 = m n כך ש - I n+1 = [a n+1 , b n+1 ] = [a n+1 , m n ] נניח שעדיין לא מצאנו נקודה c מתאימה, קיבלנו סדרת קטעים (I n = [a n , b n ]) n=1 ∞ ה מקיימת את התנאים הבאים: 1 כל קטע מכיל את הקטע שבא אחריו. 2 האורך של כל קטע הוא חצי מהאורך של הקטע הקדם לו. בפרט, אורך הקטע I n הוא b−a 2 n−1 ולכן שואף לאפס. 3 לכל n מתקיים f(a n ) > 0 > f(b n ) לכן, על פי הלמה של קנטור, קיימת נקודה c המשותפת לכל הקטעים (ובפרט c ∈ I 1 = [a, b] ) כך ש - c = lim n→∞ a n = lim n→∞ b n מכיוון ש - f רציפה ב - [a, b] , ע"פ טענה 5.27 : f(c) = lim n→∞ f(a n ) , ומכיוון ש - f(a n ) > 0 לכל n , f(c) ≥ 0 כמו כן, f(c) = lim n→∞ f(b n ) , ומכיוון ש - f(b n ) ≤ 0 לכל n , f(c) ≤ 0 לפיכך, מצאנו נקודה c ∈ [a, b] כך ש - f(c) = 0 ומכיוון ש - f(a) > 0 > f(b) מתקיים c ∈ (a, b) כנדרש. משפט 5.30 : לכל פולינום P שמעלתו אי - זוגית, יש לפחות שורש ממשי אחד. הוכחה : אם P פולינום שמקדמו העליון a n ≠ 1 , אז מקדמו העליון של P(x) a n הוא 1 ושורשיו מתלכדים עם שורשי P , לכן מספיק שנוכיח עבור b n = 1 יהי P(x) = x n + ⋯ + b 1 x + b 0 , לכל x ≠ 0 מתקיים: P(x) = x n ⋅ (1 + b n−1 x + b n−2 x 2 + ⋯ + b 1 x n−1 + b 0 x n ) נסמן: g(x) = 1 + b n−1 x + b n−2 x 2 + ⋯ + b 1 x n−1 + b 0 x n כך ש - P(x) = x n ⋅ g(x) לפי lim x→∞ 1 x = lim x→−∞ 1 x = 0 ואריתמטיקה של גבולות , lim x→∞ g(x) = lim x→−∞ g(x) = 1 , לכן קיים M כך שלכל |x| > M מ תקיים g(x) > 0 P(x) = x n ⋅ g(x) , ולכן מכיוון ש - n אי - זוגי , לכל |x| > M הסימן של P(x) נקבע ע"י הסימן של x לפיכך, קיים a < 0 המקיים |a| > M כך ש - P(a) = a n ⋅ g(a) < 0 בנוסף, קיים b < 0 המקיים |b| > M כך ש - P(b) = b n ⋅ g(b) > 0 P(x) הרציף ב - ℝ , לכן רציף גם ב - [a, b] , והראנו כי P(a) ⋅ P(b) < 0 , לכן לפי משפט 5.29 , קיים c ∈ (a, b) כך ש - P(c) = 0 , כלומר שורש ממשי משפט 5.35 (המשפט הראשון של ויירשטראס) : פונקציה ממשית, שהיא רציפה בקטע סגור, חסומה בו. הוכחה : תהי f רציפה ב - [a, b] ונניח בשלילה שאינה חסומה ב - [a, b] כלומר לכל M קיים x ∈ [a, b] כך ש - |f(x)| > M ו בפרט: עבור M = 1 קיים x 1 ∈ [a, b] כך ש - |f(x 1 )| ≥ 1 עבור M = 2 קיים x 2 ∈ [a, b] כך ש - |f(x 2 )| ≥ 2 .. ועבור M = n קיים x n ∈ [a, b] כך ש - |f(x n )| ≥ n באופן זה קיבלנו סדרה כך ש - lim n→∞ |f(x n )| = ∞ לפי קריטריון השאיפה לאין - סוף לכל x מתקיים a ≤ x n ≤ b , לכן (x n ) n=1 ∞ חסומה ועל פי משפט 3.32 , יש לסדרה (x n ) n=1 ∞ תת סדרה מתכנסת (x n k ) k=1 ∞ , נסמן : lim k→∞ x n k = c לפי טענה 5.27 lim k→∞ f(x n k ) = f(c) ובהסתמך על רציפות הערך המוחלט: lim k→∞ |f(x n k )| = |f(c)| , קיבלנו סתירה ולכן f חסומה בקטע. משפט 5.37 (המשפט השני של ויירשטראס) : פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום. הוכחה : תהי f פונקציה רציפה ב - [a, b] , לפי 5.35 , f חסומה ב - [a, b] ו יהי M = supf([a, b]) יהי 𝜀 > 0 , לפי 3.9 קיים x ∈ [a, b] כך ש - f(x) > M − ε לכן, לכל n ולכל 𝜀 = 1 n יש נקודה x n ∈ [a, b] כך ש - f(x n ) > M − 1 n , ובוודאי ש - f(x n ) ≤ M ולכן ממשפט הסנדוויץ' מתקבל lim n→∞ f(x n ) = M ( 1 ) סדרת הנקודות (x n ) n=1 ∞ היא חסומה, ועל פי משפט 3.32 יש לה תת - סדרה מתכנסת (x n k ) k=1 ∞ , נסמן lim k→∞ x n k = x 0 לכל k מתקיים a ≤ x n k ≤ b , לכן x 0 ∈ [a, b] ו מ - ( 1 ) נובע lim k→∞ f(x n k ) = M מכיוון ש - f רציפה ב - [a, b] , מתקיים f(x 0 ) = lim k→∞ f(x n k ) = M , כלומר x 0 היא נקודת מקסימום של f ב - [a, b] משפט 5.39 : אם f מונוטונית וחסומה ב - (a, b) , אז קיימים הגבולות החד - צדדיים lim x→a + f(x) ו - lim x→b − f(x) ( אנלוגית למשפט 3.16 על סדרות ) הוכחה : תהי f עולה וחסומה ב - (a, b) , יש ל - f((a, b)) חסם עליון , נסמן: M = supf((a, b)) יהי 𝜀 > 0 , לפי 3.9 קיים x 0 ∈ (a, b) כך ש - f(x 0 ) > M − ε יהי δ = b − x 0 , אם b − δ < x < b אז x > b − δ = x 0 לכן M ≥ f(x) > f(x 0 ) > M − ε ובוודאי M − ε < f(x) < M + ε , כלומר lim x→b − f(x) = M כנדרש. משפט 5.48 (משפט קנטור) : פונקציה ממשית, שהיא רציפה בקטע סגור, רציפה בו במידה שווה. הוכחה: נניח בשלילה ש קיים 𝜀 0 > 0 כך שלכל 𝛿 = 1 𝑛 > 0 ( n טבעי), ישנם 𝑠 𝑛 , 𝑡 𝑛 ∈ [𝑎, 𝑏] המקיימים |𝑠 𝑛 − 𝑡 𝑛 | < 𝛿 = 1 𝑛 ( 1 ) וגם |𝑓(𝑠 𝑛 ) − 𝑓(𝑡 𝑛 )| ≥ 𝜀 ( 2 ) הסדרה (s n ) n=1 ∞ חסומה, ולכן יש לה תת - סדרה מתכנסת (s n k ) k=1 ∞ נסמן lim k→∞ s n k = x 0 , לכל k מתקיים |𝑠 n k − 𝑡 n k | < 1 n k ולכן 𝑠 n k − 1 n k < 𝑡 n k < 𝑠 n k + 1 n k וממשפט הסנדויץ' lim k→∞ s n k = lim k→∞ t n k = x 0 ( 3 ) מרציפות f ומ - ( 3 ) נובע כי: f(x 0 ) = lim k→∞ f(t n k ) = lim k→∞ f(s n k ) ולכן: lim k→∞ (f(s n k ) − f(t n k )) = 0 , אבל מ - ( 2 ) נובע כי: |𝑓(𝑠 𝑛 𝑘 ) − 𝑓(𝑡 𝑛 𝑘 )| ≥ 𝜀 0 , קיבלנו סתירה , לכן f רציפה במידה שווה בקטע [a, b] טענה 6.16 : lim 𝑥→∞ (1 + 1 𝑥 ) 𝑥 = 𝑒 הוכחה : לכל x ≥ 1 אי השיוויון ⌊x⌋ ≤ x ≤ ⌊x⌋ + 1 גורר (1 + 1 ⌊𝑥⌋+1 ) ⌊𝑥⌋ ≤ (1 + 1 𝑥 ) 𝑥 ≤ (1 + 1 ⌊𝑥⌋ ) ⌊𝑥⌋+1 נחשב את הגבול: lim n→∞ (1 + 1 n+1 ) n = lim n→∞ (1+ 1 n+1 ) n+1 (1+ 1 n+1 ) = e לכן לכל 𝜀 > 0 קיים 𝑁 טבעי כך שלכל 𝑛 > 𝑁 מתקיים |(1 + 1 n+1 ) n − e| < ε לכל 𝑥 המקיים 𝑥 > 𝑁 + 1 , ⌊x⌋ הוא מספר טבעי המקיים ⌊x⌋ > N ולכן |(1 + 1 ⌊𝑥⌋+1 ) ⌊𝑥⌋ − 𝑒| < 𝜀 , כלומר lim x→∞ (1 + 1 ⌊𝑥⌋+1 ) ⌊𝑥⌋ = e כמו כן: lim n→∞ (1 + 1 n ) n+1 = lim n→∞ ((1 + 1 n ) n ⋅ (1 + 1 n )) = e ⋅ 1 = e , באופן דומה, lim x→∞ (1 + 1 ⌊𝑥⌋ ) ⌊𝑥⌋+1 = e לכן לפי כלל הסנדוויץ', lim 𝑥→∞ (1 + 1 𝑥 ) 𝑥 = 𝑒 כנדרש. משפט 7.9 : אם f גזירה ב - x 0 , אז f רציפה ב - x 0 הוכחה : אם f גזירה ב - x 0 , אז lim x→x 0 f(x)−f(x 0 ) x−x 0 = f′(x 0 ) לכל x ≠ x 0 עבורו f(x) מוגדר , מתקיים f(x) − f(x 0 ) = f(x)−f(x 0 ) x−x 0 ⋅ (x − x 0 ) לכן מאריתמטיקה של גבולות : lim x→x 0 (f(x) − f(x 0 )) = lim x→x 0 f(x)−f(x 0 ) x−x 0 ⋅ lim x→x 0 (x − x 0 ) = f ′ (x 0 ) ⋅ 0 = 0 לכן lim x→x 0 f(x) = f(x 0 ) , כלומר, f רציפה ב - x 0 משפט 8.4 (משפט פרמה) : תהי f פונקציה המוגדרת בקטע I ותהי x 0 ∈ I . אם x 0 היא נקודת קיצון של f , ואם f גזירה ב - x 0 , אז f ′ (x 0 ) = 0 הוכחה : תהי f ותהי x 0 מקסימום מקומי , קיימת סביבה N δ (x 0 ) של x 0 כך ש לכל x בה מתקיים f(x 0 ) ≥ f(x) מגזירות f ב - x 0 הנגזרות החד - צדדיות: f − ′ (x 0 ) = lim h→0 − f(x 0 + h) − f(x 0 ) h f + ′ (x 0 ) = lim h→0 + f(x 0 + h) − f(x 0 ) h נתבונן בביטוי f(x 0 + h) − f(x 0 ) , לכל h שעבורו |h| < δ , מתקיים x 0 + h ∈ N δ (x 0 ) , ולכן f(x 0 + h) ≤ f(x 0 ) , כלומר: f(x 0 + h) − f(x 0 ) ≤ 0 לפי סימנו של h , אם h > 0 , אז f(x 0 +h)−f(x 0 ) h ≥ 0 , ואם h < 0 אז f(x 0 +h)−f(x 0 ) h ≤ 0 לפיכך, f + ′ (x 0 ) = lim h→0 + f(x 0 +h)−f(x 0 ) h ≤ 0 , מכיוון ש - h > 0 ואילו f ′ (x 0 ) = f − ′ (x 0 ) = lim h→0 − f(x 0 +h)−f(x 0 ) h ≥ 0 , מכיוון ש - h < 0 לפי משפט 7.12 מתקיים: 0 ≤ f ′ (x 0 ) = f − ′ (x 0 ) = f + ′ (x 0 ) ≤ 0 ולכן f ′ (x 0 ) = 0 כנדרש משפט 8.5 (משפט רול) : תהי f רציפה ב - [a, b] וגזירה ב - (a, b) . אם f(a) = f(b) , אז קיימת c ∈ (a, b) כך ש - f ′ (c) = 0 הוכחה : ל פ י משפט 5.37 , יש ל - f מינימום ומקסימום בקטע. נסמן: m = min f([a, b]) ו - M = max f([a, b]) עב ור m = M : לכל x ∈ [a, b] , מ תקיים m ≤ f(x) ≤ M , הרי ש - f(x) = M , לכן f קבועה ב - [a, b] ומתקיים f ′ (c) = 0 לכל c ∈ (a, b) עבור m ≠ M : תהי x 1 כך ש - f(x 1 ) = m ותהי x 2 כך ש - f(x 2 ) = M בוודאי ש - f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) , ומשום ש - f(a) = f(b) , לפחות אחת מ - x 1 , x 2 אינה נקודת קצה אלא נקודה פנימית של [a, b] לכן קיימת c ∈ (a, b) , שהיא נקודת מינימום או מקסימום של f , ומגזירות f ב - (a, b) ע"פ משפט 8.4 , מתקיים f ′ (c) = 0 משפט 8.6 (משפט הערך הממוצע /לגראנז' ) : אם f רציפה ב - [a, b] וגזירה ב - (a, b) , אז קיימת קיימת c ∈ (a, b) , כך ש - f ′ (c) = f(b)−f(a) b−a הוכחה : תהי y = l(x) משוואת המיתר המחבר בין הנקודות (a, f(a)), (b, f(b)) , שיפועו בכל נקודה x בקטע הוא l ′ (x) = f(b)−f(a) b−a תהי g(x) = f(x) − l(x) המוגדרת בקטע [a, b] g רציפה ב - [a, b] כ הפרש פונקציות רציפות בקטע. g גזירה ב - (a, b) כ הפרש פונקציות גזירות בקטע. הגרפים של l(x) ושל f(x) נחתכים בנקודות (a, f(a)) ו - (b, f(b)) l(a) = f(a) ⇒ g(a) = f(a) − l(a) = 0 l(b) = f(b) ⇒ g(b) = f(b) − l(b) = 0 לכן g מקיימת את תנאי משפט 8.5 ו קיימת נקודה c ∈ (a, b) כך ש - g ′ (c) = 0 כלומר f ′ (c) − l ′ (c) = 0 , לכן f ′ (c) − f(b)−f(a) b−a = 0 ולכן f ′ (c) = f(b)−f(a) b−a כנדרש. משפט 8.10 (משפט דארבו) : אם f גזירה ב - [a, b] אז נגזרתה f′ מקבלת בקטע [a, b] כל ערך שבין f′(a) ל - f′(b) הוכחה : נניח כי f ′ (a) < f ′ (b) ויהי t המקיים f ′ (a) < t < f ′ (b) תהי H(x) = f(x) − t ⋅ x ב - [a, b] H גזירה, ורציפה ב - [a, b] . לכן יש ל - H מינימום בקטע. לכל x ∈ [a, b] מתקיים H′(x) = f′(x) − t , בפרט מתקיים H ′ (a) = f ′ (a) − t < 0 וגם H ′ (b) = f ′ (b) − t > 0 בפרט מתקיים lim h→0 + H(a+h)−H(a) h = H + ′ (a) < 0 , מ אחר ו הגבול הימני הוא שלילי, קיימת סביבה ימנית של h = 0 כך ש - H(a+h)−H(a) h < 0 לכן, עבור ערכי h חיוביים ו קטנים מספיק H(a + h) − H(a) < 0 , כלומר: H(a + h) < H(a) ולכן H(a) אינו המינימום של H ב - [a, b] באופן דומה, lim h→0 − H(b+h)−H(b) h = H − ′ (b) > 0 , לכן, קיימת סביבה שמאלית של h = 0 כך ש - H(b+h)−H(b) h > 0 כלומר, עבור ערכי h שליליים, קטנים מספיק , H(b + h) < H(b) ו לכן גם H(b) אינו המינימום של H ב - [a, b] לכן המינימום של H הוא בהכרח ב - c ∈ (a, b) ומתקיים H ′ (c) = 0 אולם H′(x) = f′(x) − t , ולכן H ′ (c) = 0 ⇒ f ′ (c) = t משפט 8.12 : תהי f פונקציה גזירה בקטע I , נקודות האי - רציפות של הנגזרת f′ , במידה ויש כאלו, הן מהמין השני בלבד. הוכחה : תהי x 0 ∈ I נקודת אי - רציפות של f′ אילו הייתה x 0 נקודת אי - רציפות סליקה או ממין ראשון , היו קיימים הגבולות החד - צדדיים lim x→x 0 + f′(x) ו - lim x→x 0 − f′(x) ולפי משפט 8.11 , מקיום גבול ות אילו מתחייב, ש - f′ רציפה מימין ומשמאל ב - x 0 ו לפיכך f′ רציפה ב - x 0 זאת בסתירה לבחירת x 0 כנקודת אי - רציפות , ו לכן x 0 היא נקודת אי - רציפות מהמין השני. משפט 8.14 (לופיטל " 0 0 " לגבול חד - צדדי ) : תהי ינה f ו - g פונקציות גזירות בסביבה ימנית של x 0 , המקיימות lim x→x 0 + f(x) = lim x→x 0 + g(x) = 0 אם קיים הגבול lim x→x 0 + f′(x) g′(x) ( או שהגבול אינסופי ) , אז קיים גם הגבול lim x→x 0 + f(x) g(x) (או שהגבול אינסופי) ומתקיים: lim x→x 0 + f(x) g(x) = lim x→x 0 + f′(x) g′(x) הוכחה : מקיום הגבול lim x→x 0 + f′(x) g′(x) = L , קיימת סביבה (x 0 , x 0 + δ) כך ש - g′(x) ≠ 0 , f′(x) g′(x) מוגדר ו - f ו - g מוגדרות ו גזירות בה. הגבול lim x→x 0 + f(x) g(x) אינ ו תלוי בערכי f ו - g ב - x 0 , ל כן די להוכיח את המשפט בהנחה ש - f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0 ( 1 ) , לכן בנוסף ל נתון lim x→x 0 + f(x) = lim x→x 0 + g(x) = 0 , ניתן להסיק ש - f ו - g רציפות ב - [x 0 , x 0 + δ) יהי x ∈ (x 0 , x 0 + δ) , הפונקציות f ו - g רציפות ב - [x 0 , x] , גזירות ו - g′(x) ≠ 0 ב - (x 0 , x) לפיכך לפי משפט 8.9 , מ ת קיי ם g(x) ≠ g(x 0 ) וקיימת c x ∈ (x 0 , x) כך ש - f(x)−f(x 0 ) g(x)−g(x 0 ) = f′(c x ) g′(c x ) , מ - ( 1 ) הרי ש - g(x) ≠ 0 ומתקיים f(x) g(x) = f′(c x ) g′(c x ) מאי - השוויון x 0 > c x > x ומכלל הסנדוויץ , lim x→x 0 + c x = x 0 , לכן לפי משפט 4.39 לגבול חד - צדדי, נקבל lim x→x 0 + f′(x) g′(x) = lim x→x 0 + f′(c x ) g′(c x ) = lim x→x 0 + f(x) g(x) = L

الإبلاغ عن إساءة

تفاصيل ال-PDF

معلومات الاتصال

הוכחת משפטים מקוצר.pdf

Sigal Hirsch