MAKRON Books CAPÍTULO 1 EDITORA NÚMEROS REAIS Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses con- juntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções, usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais. Neste 1 2 capítulo, vamos analisar o conjunto dos números reais. Enunciaremos os axiomas básicos, deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo estas propriedades. 1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto N = {1, 2, 3, ...}. Os números —1, —2, —3, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que denotamos por Z={0,±1,±2,±3,...}. 2 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Os números da forma mln, n O, m, n E Z, são chamados de frações e formam o conjunto dos números racionais. Denotamos: Q= {x I x mln , m, n e Z, n O}. Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma mln, n O, m, n e Z, tais como -& = 1,414 ..., n = 3,14159 ..., e = 2,71 ... . Estes números formam o conjunto dos números irracionais que denotaremos por Q'. Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por 1? = Qu Q' A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedades referentes ao conjunto dos números reais. No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adi- ção e multiplicação que satisfazem os axiomas abaixo: 1.1.1 Fechamento. Se a e b e 1?, existe um e somente um número real denotado por a + b, chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por ab (ou a x b, ou a - b) chamado produto. 1.1.2 Comutatividade. Se a, b e R entãoa+b=b+a e a-b=b-a. 1.1.3 Associatividade. Se a, b e c e R então a + (b + c) = (a + b) + c e a (b - c) = (a•b) • c. 1.1.4 Distributividade. Se a, b, c E 1? então a• (b + c) = ab + ac. 1.1.5 Existência de Elementos Neutros. Existem O e 1 e R tais que a + O = a e a • 1= a, para qualquer a E R. Números reais 3 1.1.6 Existência de Simétricos. Todo a E R tem um simétrico, denotado por —a, tal que a + (—a) = O. 1.1.7 Existência de Inversos. Todo a E IR, a O tem um inverso, denotado por 1/a, tal que a • 1 — a = 1. Usando 1.1.6 e 1.1.7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais. 1.1.8 Subtração. Se a, b E IR, a diferença entre a e b, denotada por a — b, é definida por a — b = a + (—b). 1.1.9 Divisão. Se a,bEIReb O, o quociente de a e b é definido por — a = a b• 1.2 DESIGUALDADES Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro, deve- mos introduzir o conceito de número real positivo e uma relação de ordem. 1.2.1 Axioma de Ordem. No conjunto dos números reais existe um subconjunto denominado de números positivos, tal que: (i) se a E E, exatamente uma das três afirmações ocorre: a -= O; a é positivo; — a é positivo; (ii) a soma de dois números positivos é positiva; (iii) o produto de dois números positivos é positivo. 1.2.2 Definição. O número real a é negativo se e somente se — a é positivo. 1.2.3 Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos: (i) a < b <=> b — a é positivo; (ii) a > b .:;=> a — b é positivo. 4 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 1.2.4 Os símbolos 5_ (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos: (i) a 5_ b <=> a < b ou a =-- b; (ii) a b<=>a>boua=b. Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESI- GUALDADES. ab são desigualdades estritas enquanto a ^ bea b são desigualdades não estritas. 1.2.5 Propriedades. Sejam a, b, c, d e N. (i) Sea>b eb>c, então a > c. (ii) Se a>bec> O, então ac > bc. (iii) Se a>be c< O, então ac < bc. (iv) Se a > b, então a+c>b+c para todo real c. (v) Sea>bec> d, entãoa+c>b+ d. (vi) Sea>b>Oec>d> O, então ac>bd. As propriedades enunciadas podem ser facilmente provadas usando-se as definições anteriores. Por exemplo: Prova da Propriedade i). (Sea>beb> c, então a > c). (def) Se a > b (a — b) > O. (def) Se b > c (b — c) > O. Usando 1.2.1 (ii), temos (a — b) + (b — c) > O (def) ou a—c>0a>c. Números reais 5 Prova da Propriedade ii). (Se a > b e c > O, então ac > bc). (def.) Se a > b (a — b) > O. Usando 1.2.1 (iii) temos (a — b) • c > O ou (ac — bc) > O e finalmente, pela definição, ac > bc. 1.3 VALOR ABSOLUTO 1.3.1 Definição. O valor absoluto de a, denotado por lal, é definido como lal = a, se a O lal = — a, se a < O. 1.3.2 Interpretação Geométrica. Geometricamente o valor absoluto de a, também chamado módulo de a, representa a distância entre a e O. Escreve-se então lal = 1.3.3 Propriedades. (i) lxl < a <=> —a < x < a, onde a > O. (ii) >a<=>x>aoux<—a, onde a > O. (iii) Se a, b E IR, então la • bl = Ia! • Ibl. (iv) Se a,bEReb O, então a b lal Ibl • (v) (Desigualdade triangular) Se a, b e IR, então la + bl lal + (vi) Se a, b E R, então la — bl 5 lal + Ibl. (vii) Se a, b E IR, então Ia! — Ibl .5 Ia — bl. la 1 ). lb 1 a b 6 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Vamos provar algumas das propriedades citadas. Prova da Propriedade i). (Ix1 < a <=> — a < x < a, onde a > 0). Provaremos por partes: Parte 1: — a < x < a, com a > O Ixl < a. Se x _ 0, lx1 = x. Como, por hipótese, x < a, vem que Ixl < a. Se x < O, lxl = — x. Como — a < x, aplicando a propriedade 1.2.5 iii) concluí- mos que — x < a. Assim, lx1 = — x < a ou seja Ixl < a. Parte 2: lxl < a onde a > O — a < x < a. Se x . 0, então Ixl = x. Como lx1 < a, concluímos que x < a. Como a > 0, segue que — a < O e então — a < O x < a ou seja —a 0. Portanto, — a < 0 < — x < a ou de forma equivalente — a < x < a. Prova da Propriedade iii). (Se a, b E I? então Ia • bl = lal . lbl). Usando 1.3.2, vem labl = I(ab) 2 = 'Va 2 • b 2 = .Va 2 • 'NF T o lal • Ibl. Prova da Propriedade iv). (Se a, b E R e b t O então Usando 1.3.2, vem = "\I = — — b O. *NW 1 a 1 b 2 I b 1 a b Números reais 7 Prova da Propriedade v). (Se a, b E I?, então la + bl 5_ lal + lb1). Como a, b E R, de 1.2.1(i) vem que ab é positivo, negativo ou zero. Em qualquer caso vale, ab labl = tal Ibl. (1) Multiplicando (1) por 2, temos 2ab 2 lal IbI. (2) Da igualdade (a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2 e de (2) vem que (a + b) 2 a 2 + 2 lal Ibl +b 2 (a + b) 2 la1 2 + 2 lal Ibl + Ib1 2 (a + b) 2 5_ (Ial + 1b1) 2 (3) Tomamos a raiz quadrada de (3) e obtemos la + bl 5_ lal + Ibl. Prova da Propriedade vi). (Se a, b e 1?, então la — bl 5 lal + 1b1). Basta escrever a — b = a + (—b) e aplicar a propriedade v). Ia — bl = la + (—b)I lal + I —bl lal + Ibl. Prova da Propriedade vii). (Se a, b E R, então lal — Ibl la — b1). Vamos fazer a — b = c. Aplicando a propriedade v, vem lal = Ic + bl Icl + 1bl lal — Ibl Icl lal — Ibl la — bl . 8 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 1.4 INTERVALOS Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue: 1.4.1 Intervalo Aberto. {xl a < x < b} denota-se (a, b) ou ]a, b[. 1.4.2 Intervalo Fechado. fx1 a x b) denota-se [a, b]. 1.4.3 Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda. {xl a < x b} de- nota - se (a, b] ou ]a, b]. 1.4.4 Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda. {xl a x < b} de- nota - se [a, b) ou [a, b[. 1.4.5 Intervalos Infinitos. (i) {x I x > a} denota-se (a, + oo) ou ] a, + oo[; (ii) {x 1 x a} denota-se [a, + o.) ou [a, + oo [; (iii) {x 1 x < b} denota-se (-00, b) ou ]— ao, b{; (iv) {x 1 x b} denota-se (— co, b] ou ]- .0, b]. Podemos fazer uma representação gráfica dos intervalos como nos exemplos que seguem: ex. 1.4.1 — (2, 3) ex. 1.4.2 — [O, 3] ex. 1.4.3 — (1, 4] ex. 1.4.4 — [O, 4) O 1 2 3 4 E O 1 2 3 4 O 1 2 3 4 O 1 2 3 4 Números reais 9 ex. 1.4.5 — (i) (O, + ao) O 1 2 3 4 (ii) [1, + O 1 2 3 4 (iii) (-0., 3) 4 O 1 2 3 4 (iv) (-00, 4] 4 3-- 0 1 2 3 4 1.5 EXEMPLOS 1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica. 3+7x < 8x+9 3+7x-3 < 8x+9-3 7x < 8x + 6 7x-8x < 8x + 6 — 8x —x < 6 x > (propriedade 1.2.5 iv) (propriedade 1.2.5 iv) (propriedade 1.2.5 iii) Portanto, {x I x > —6} = (— 6, + 00) é a solução, e graficamente 6 10 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 7 < 5x+35.9 7-3 < 5x+3-3 ^ 9-3 4 < 5x<_6 4 6 < x 5 5 (propriedade 1.2.5 iv) (propriedade 1.2.5 ii) Portanto, {x 1 4/5 < x 6/5} = (4/5, 6/5] é a solução, e graficamente 4/5 6/5 (iii) x + 7 < 5 , x —7. Vamos multiplicar ambos os membros da desigualdade por x + 7. Devemos. então, considerar dois casos: Caso]. Então, x + 7 > O ou x>-7 (propriedade 1.2.5 iv) x < 5 (x + 7) (propriedade 1.2.5 x < 5x + 35 x — 5x < 5x + 35 — 5x (propriedade 1.2.5 iv) — 4 x < 35 x > — 35/4 (propriedade 1.2.5 iii) Portanto, {x I x > —7} n {xl x > —35/4} = (-7, + 00) é a solução do 4:354? 1. Caso 2. Então, x+7 < O ou x< —7. 5(x + 7) x > 5x + 35 x < —35/4 Portanto, {x I x < —7} n {x 1 x < —35/4} = (— 00, —35/4) é a solução do caso 2. Números reais 11 A solução final é a união de (-7, + o.) e (— 00, —35/4) ou seja (— oo , —35/4) u (-7, + co) ou ainda x e [-35/4, —7]. Graficamente, -35/4 (iv) (x + 5) (x — 3) > O. A desigualdade será satisfeita quando ambos os fatores tiverem o mesmo sinal: Caso 1. (x + 5) > O e (x — 3) > O ou x > — 5 e x> 3 ou x > Caso 2. x + 5 < Oex-3<0 ou x < —5 e x < 3 ou x < — 5. A solução final será a união entre (3, + e (— co, —5) ou seja todos os x [-5, 3]. Geometricamente, 4 -5 2. Resolva as equações: (i) I5x — 31 = 7. Esta equação é verdadeira quando 5x — 3 = 7 ou 5x — 3 = — 7, ou seja, x = 2 ou x = — 4/5. 12 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Portanto, as duas soluções da equação dada são: x = 2 e x = - 4/5. (ii) I7x - 11 = I2x + 51. Esta equação será satisfeita se: Caso 1. 7x-1 = 2x + 5 7x-2x = 5 +1 5x = 6 x = 6/5. Caso 2. 7x -1 = -(2x +5) 7x -1 -2x-5 7x +2x = -5 +1 9x -4 x = - 4/9. Portanto, a solução final é x = 6/5 e x = - 4/9. (iii) 1 9x + 71 = -7. Esta equação não tem solução pois o valor absoluto de um número nunca pode ser negativo. 3. Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades: (i) 17x- 21<4. Aplicando a propriedade 1.3.3 (i), -4 < 7x-2<4 -4+2 < 7x-2+2<4+2 Números reais 13 -2 < 7x < 6 2 6 7 x < Portanto, x E (-2/7, 6/7). 7 - 2x 4 + x s 2, x o - 4. Aplicando a propriedade 1.3.3 (iv), 17 - 2x1 14 + ^ 2. 17 - 2x1 s 214 + xl. Elevando ambos os lados da desigualdade ao quadrado, vem 49-28x+4x 2 s4(16+8x:Fx 2 ) 49-28x+ 4x 2 s64+32x+4x 2 49 -28x + 4x 2 - 64 -32x - 4x 2 s 0 - 60x - 15 s O - 60x 5 15 60x - 15 - 15/60 x z - 1/4 ou x E [-1/4, + (iii) 3 - 2x s 4, x -2. 2 + x 1 3 - 2x1 s 4 12 + xl 9 - 12x + 4x 2 s 16(4+ 4x+x 2 ) 9 - 12x + 4x 2 s 64 + 64x + 16x 2 -12x 2 - 76x -55 s O 14 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 2 +76x+55 O 12(x + 5/6) (x + 11/2) . O (x + 5/6) (x + 11/2) O. Procedendo como no exemplo 1 (iv) concluímos que a solução final será a união de (— 00 , —11/2] e [-5/6, + o.), ou seja, x (-11/2, —5/6). 4. Mostre que, se a,bERea O x [a, b]. (ii) (x — a) (x — b) O x (a, b). (iii) (x — a) (x — b) O x [a, b]). Os dois fatores (x — a) e (x — b) devem ter o mesmo sinal. Temos dois casos: Caso 1. x — a > O e x — b > O ou x > a e x > b. A solução deste caso será x > b ou (b, + 00). Caso 2. x—a < O e x—b<0 ou x < a e x < b. A solução deste caso será x < a ou (— 0 , a). Portanto, a solução final é a união entre (— co, a) e (b, + 00) ou seja x g [a. b] Números reais 15 De maneira análoga pode-se provar as demais relações. 1.6 EXERCÍCIOS 1. Determinar todos os intervalos de números que representação gráfica. a) 3 —x < 5 + 3x b) c) 2 > — 3 — 3x —7 satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a 1 3x — 2x 5 1 x — < — + + 3 4 3 5 3 x < — 4 e) x 2 _ ^ 9 1) x 2 -3x+2>0 g) 1— x — 2x 2 O h) x + 1 x 2 — x 3 + x i) x 3 +1>x 2 +x (x2— 1) (x +4) 5_ O k) 2 x + 2 1) x 4 > x 2 < 1 x — 2 — x — 2 x 4 <4 n) 1/2 x — rn) x — 3 > 1 4 + x o) 3 p) x 3 — x 2 — x —2>0 <2 x — 5 q) x 3 -3x+ 2 50 r) 1 3 x + 1 x — 2 s) 8x 3 — 4x 2 — 2x + 1 < O t) 12x 3 — 20x 2 _ — 11x + 2. 2. Resolver as equações em R. a) 15x — 3 I = 12 c) I 2x — 3 I = I 7x — 5 I b) I —4+12x1=7 d) x + 2 x — 2 =5 16 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 3x + 8 e) — 4 f) 13x+2I=5—x 2x — 3 g) I9x1-11 = x h) 2x-7=Ix1+1. 3. Resolver as inequações em R. a) I x + 121<7 b) 13x-41.<2 c) 15-6x1 9 d) 12x-51>3 e) 16+2x1<14—xl f) lx+415.12x-61 • g) 13x1>15-2x1 h) 7 — 2x < 5 + 3x — 2 i) lx-11+1x+21>4 j) _1 4 1) 5 2x— 1 1 x — 2 m) lx1+1 a se e somente se x > a ou x < — a, onde a> O. d) Se O < a < b, então "■,/, < a ± 12 2 CAPÍTULO 2 EDITORA DA MAKRON Books FUNÇÕES Neste capítulo introduziremos um dos mais fundamentais conceitos da mate- mática — o de função. O conceito de função refere-se essencialmente à correspondência entre conjuntos. Uma função associa a elementos de um conjunto, elementos de outro conjunto. Em nosso estudo os conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos de R. As funções neles definidas são chamadas funções reais de variável real. 2.1 DEFINIÇÃO Sejam A e B subconjuntos de 1?. Uma função f: A B é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado por D(f). B é chamado contradomínio ou campo de valores de f. Escrevemos: f:. A —> B x —> f (x) ou f A —> B x — > y = f (x). 18 Funções 19 2.2 EXEMPLOS Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}. (i) f: A —> B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B. (ii) g: A --> B x --> x + 1 é uma função de A em B. Podemos representar g em diagrama. 2.3 CONTRA-EXEMPLOS Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}. (i) f: A —> B dada pelo diagrama a seguir, não é uma função de A em B, pois o elemento 4 E A tem dois correspondentes em B. 20 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração (ii) g: A — B x --> x - 3 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 E A não tem correspondente em B. Podemos ver isto facilmente representando g em diagrama. 2.4 DEFINIÇÃO Seja f: A —> B. i) Dado x E A, o elemento f (x) e B é chamado o valor da f - unçãof no ponto x ou imagem de x por f. ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de f e é denotado por Im(f).

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